1. Pour chaque nombre, déterminer sa nature (rationnel, irrationnel, entier) en simplifiant. - $\frac{25}{\sqrt{100}} = \frac{25}{10} = 2.5$, un nombre rationnel. - $\frac{35}{3}$ est un nombre rationnel non entier (fraction). - $\frac{(3\sqrt{2} - 3)(3\sqrt{2} + 3)}{3}$ : développer le produit au numérateur \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) $$ (3\sqrt{2})^2 - 3^2 = 9 \times 2 - 9 = 18 - 9 = 9 $$ Donc le nombre vaut $\frac{9}{3} = 3$, un entier. - $\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{26}} = 2 \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{26}} = 2 \sqrt{\frac{39}{26}} = 2 \sqrt{\frac{3 \times 13}{2 \times 13}} = 2 \sqrt{\frac{3}{2}}$, un nombre irrationnel. - $\frac{0}{5\sqrt{2}} = 0$, un entier. - $- \frac{18\pi}{3\pi} = - \frac{18}{3} = -6$, un entier. - $\frac{23}{17}$, rationnel non entier. - $\sqrt{4 + \frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{100}{25} + \frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{111}{25}} = \frac{\sqrt{111}}{5}$, irrationnel. 2. Vérifier l'égalité $$ \frac{58}{100} \times 10 - 2 \times \frac{17 - 5}{(3 \times 2)^2} = \sqrt{25 - 9} $$ Calculons chaque membre : $$ \frac{58}{100} \times 10 = \frac{58}{10} = 5.8 $$ $$ (3 \times 2)^2 = 6^2 = 36 $$ $$ 2 \times \frac{12}{36} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 $$ Donc le membre de gauche est $$ 5.8 - 0.6667 = 5.1333 $$ Le membre de droite : $$ \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $$ L'égalité n'est pas vérifiée (5.1333 $\neq$ 4). --- Exercice 2 1. Calculer A et B sous forme irréductible : $$ A = \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right) $$ $$ = \left(\frac{5}{6} - \frac{2}{6}\right) \times \left(\frac{1}{4} + \frac{6}{4}\right) = \frac{3}{6} \times \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{7}{4} = \frac{7}{8} $$ $$ B = \frac{1}{16} - \frac{9}{4} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{16} - \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{16} - \frac{27}{8} = \frac{1}{16} - \frac{54}{16} = -\frac{53}{16} $$ 2. Simplifier A et S : $$ A = \sqrt{45} - 3\sqrt{5} + \sqrt{20} $$ $$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}, \quad \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} $$ Donc $$ A = 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $$ $$ S = 4\sqrt{27} - 2\sqrt{48} - \sqrt{75} $$ $$ \sqrt{27} = 3\sqrt{3}, \quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \quad \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $$ Donc $$ S = 4 \times 3\sqrt{3} - 2 \times 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 8\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (12 - 8 - 5)\sqrt{3} = -1\sqrt{3} = -\sqrt{3} $$ 3. Vérification avec le nombre d'or $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ : On veut montrer que $$ \phi - 1 = \frac{1}{\phi}. $$ Calculons $$ \phi - 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1 + \sqrt{5} - 2}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $$ Et $$ \frac{1}{\phi} = \frac{1}{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}. $$ Rationalisons le dénominateur: $$ \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \times \frac{1 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac{2 (1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{-4} = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, $$ qui est la même expression que ci-dessus. 4. Montrer que $$ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}}. $$ Calculons la partie de droite en simplifiant l'expression de la fraction complexe step par step : 1. Calcul du dénominateur intérieur $$ 2 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2)(\sqrt{2} + 1) + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2} + 2 + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2} + 1} $$ 2. L'inverse de ce dénominateur $$ \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2}+1}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 3} $$ 3. Somme totale $$ 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}} = 1 + \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 3} = \frac{2\sqrt{2} + 3}{2\sqrt{2} + 3} + \frac{\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 3} = \frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 3} = \frac{3\sqrt{2} + 4}{2\sqrt{2} + 3} $$ 4. Calculons cette fraction : Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur $2\sqrt{2} - 3$ : $$ \frac{3\sqrt{2} + 4}{2\sqrt{2} + 3} \times \frac{2\sqrt{2} - 3}{2\sqrt{2} - 3} = \frac{(3\sqrt{2} + 4)(2\sqrt{2} - 3)}{(2\sqrt{2})^2 - 3^2} = \frac{(3\sqrt{2})(2\sqrt{2}) - 3(3\sqrt{2}) + 4(2\sqrt{2}) - 12}{8 - 9} $$ Calculons numérateur : $$ 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 3 \times 2 \times (\sqrt{2})^2 = 6 \times 2 = 12 $$ $$ -3 \times 3\sqrt{2} = -9\sqrt{2} $$ $$ 4 \times 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} $$ $$ -12 $$ Donc numérateur = $12 - 9\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 12 = (12 - 12) + (-9\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ Dénominateur = $8 - 9 = -1$ Donc la valeur totale est $$ \frac{-\sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} $$ On a donc montré l'égalité. --- Résumé : \(\frac{25}{\sqrt{100}}\) est rationnel, \(\frac{35}{3}\) rationnel, \(\frac{(3\sqrt{2} - 3)(3\sqrt{2} + 3)}{3}\) entier, \(\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{26}}\) irrationnel, \(\frac{0}{5\sqrt{2}}\) entier, \(- \frac{18\pi}{3\pi}\) entier, \(\frac{23}{17}\) rationnel, \(\sqrt{4 + \frac{11}{25}}\) irrationnel. Calcul du membre de gauche et droite dans $\frac{58}{100} \times 10 - 2 \times \frac{17 - 5}{(3 \times 2)^2} = \sqrt{25 - 9}$ montre qu'ils ne sont pas égaux. Leurs simplifications des expressions, ainsi que les propriétés du nombre d'or et de l'expression donnée, ont été démontrées avec rigueur.