1. Énonçons le problème : On doit simplifier l'expression $$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$$ en détail. 2. Observons les dénominateurs : chaque terme a un dénominateur de forme $$(x-y)(x-z)$$ avec $x,y,z$ distincts parmi $a,b,c$. 3. Pour simplifier, nous reconnaissons que cette somme est une forme typique liée à la symétrie des racines et peut être réduite. 4. Une approche consiste à regrouper les termes sous un même dénominateur qui est le produit $$ (a-b)(b-c)(c-a) $$. 5. Mettons chaque terme au même dénominateur : $$\frac{a^3(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{b^3(c-a)}{(b-a)(b-c)(c-a)} + \frac{c^3(a-b)}{(c-a)(c-b)(a-b)}$$ 6. Remarquons que: - $(b-a) = -(a-b)$ - $(c-a) = -(a-c)$ - $(c-b) = -(b-c)$ 7. Par conséquent, le dénominateur commun est en valeur absolue $$D = (a-b)(b-c)(c-a)$$. 8. L'expression devient donc : $$\frac{a^3(b-c)}{D} + \frac{b^3(c-a)}{D} + \frac{c^3(a-b)}{D}$$ 9. Donc la somme est : $$\frac{a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$ 10. Concentrons-nous sur le numérateur : $$N = a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$$. 11. Ce type d'expression est une forme antisymétrique classique. Une identité connue est : $$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = (a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c)$$ 12. Cette identité peut se vérifier en développant, mais pour la démonstration, on peut aussi remarquer qu'en permutant les variables, le signe change conformément au produit $(a-b)(b-c)(c-a)$. 13. Intégrons cette identité dans notre expression : $$\frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = a + b + c$$ 14. Finalement, l'expression simplifiée est : $$a + b + c$$. 15. Conclusion : La somme $$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$$ se simplifie élégamment en la somme des trois variables, soit $$\boxed{a + b + c}$$.