1. Énonçons le problème : On considère \( G \) un sous-groupe de \( \mathbb{R} \) tel que \( A = \{x \in G : x > 0\} \). On nous donne que si \( a > 0 \), alors \( a \in G \) et que \( G = a\mathbb{Z} \). 2. Comprenons les notations : \( a\mathbb{Z} \) désigne l'ensemble des multiples entiers de \( a \), c'est-à-dire \( \{ka : k \in \mathbb{Z}\} \). 3. Analyse de la proposition : - Si \( a > 0 \) et \( a \in G \), alors tous les multiples entiers de \( a \) sont dans \( G \) puisque \( G \) est un sous-groupe et donc stable par addition et inversion. - Cela implique que \( a\mathbb{Z} \subseteq G \). 4. Réciproquement, tout élément \( x \in G \) doit être un multiple de \( a \) si \( a \) est le plus petit élément strictement positif de \( G \). 5. Conclusion : Si on suppose que \( a = \inf A > 0 \) (c'est-à-dire la borne inférieure positive de \( G \)), alors \( G = a\mathbb{Z} \). La notation et la formulation initiales comportaient quelques erreurs d'orthographe et de clarté (ex: "corpis" devrait être "compris", "mq" devrait être "montrer que", "inf(x appartient à g : x>0)" est à préciser comme l'infimum). \textbf{Résumé final :} Si \( a = \inf \{x \in G : x > 0 \} > 0 \), alors \( G = a\mathbb{Z} \).