1. **Énoncé du problème** : Vérifier que 1 est racine de $P(X)=X^5 - 2X^4 + X^3 - X^2 + 2X - 1$ et déterminer son ordre de multiplicité. Calculons $P(1)$ : $$P(1) = 1 - 2 + 1 - 1 + 2 - 1 = 0.$$ Donc, 1 est bien racine de $P$. Pour déterminer son ordre de multiplicité, calculons les dérivées successives en 1 : $$P'(X) = 5X^4 - 8X^3 + 3X^2 - 2X + 2,$$ $$P'(1) = 5 - 8 + 3 - 2 + 2 = 0.$$ Donc, la dérivée première s'annule aussi en 1. La dérivée seconde: $$P''(X) = 20X^3 - 24X^2 + 6X - 2,$$ $$P''(1) = 20 - 24 + 6 - 2 = 0.$$ La dérivée seconde s'annule aussi en 1. La dérivée troisième: $$P^{(3)}(X) = 60X^2 - 48X + 6,$$ $$P^{(3)}(1) = 60 - 48 + 6 = 18 \neq 0.$$ Donc, l'ordre de multiplicité de la racine 1 est 3. 2. **Factorisation de $P$ en polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$** : Puisque 1 est racine triple, divisons $P$ par $(X-1)^3$. Division de $P$ par $(X-1)^3$ donne un polynôme quotient $Q(X)$ de degré 2. On sait que $P(X) = (X-1)^3 Q(X)$ avec $Q(X)$ de degré 2. Trouvons $Q(X)$ : Développons $(X-1)^3 = X^3 - 3X^2 + 3X -1$. Posons $Q(X) = aX^2 + bX + c$. Alors, $$P(X) = (X^3 - 3X^2 + 3X -1)(aX^2 + bX + c) = aX^5 + bX^4 + cX^3 - 3aX^4 - 3bX^3 - 3cX^2 + 3aX^3 + 3bX^2 + 3cX - aX^2 - bX - c.$$ Regroupons les termes par degré : - $X^5 : a$ - $X^4 : b - 3a$ - $X^3 : c - 3b + 3a$ - $X^2 : -3c + 3b - a$ - $X : 3c - b$ - $constante : -c$ Ces coefficients doivent être égaux aux coefficients de $P$ : $$a = 1,$$ $$b - 3a = -2 \Rightarrow b - 3 = -2 \Rightarrow b = 1,$$ $$c - 3b + 3a = 1 \Rightarrow c - 3 + 3 = 1 \Rightarrow c = 1,$$ $$-3c + 3b - a = -1 \Rightarrow -3 + 3 -1 = -1 \(Vrai),$$ $$3c - b = 2 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \(Vrai),$$ $$-c = -1 \Rightarrow c = 1 \(Vrai).$$ Donc $Q(X) = X^2 + X + 1$. Le polynôme $Q$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ car son discriminant est $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0.$$ Donc $P(X) = (X-1)^3 (X^2 + X + 1)$ est la factorisation en polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$. 3. **Développement de Taylor de $P(X)$ au point 1 en utilisant le tableau de Horner** : Le développement de Taylor s’écrit $$P(X) = \sum_{k=0}^{5} \frac{P^{(k)}(1)}{k!} (X - 1)^k.$$ Using Horner's scheme around 1 for $P$ (substituting $x = X-1$) gives coefficients that correspond to these derivatives at 1. Par la division de $P$ par $(X-1)^3$, on sait que les premiers termes jusqu'à $(X-1)^2$ sont nuls (coefficients des dérivées 0 jusqu'à ordre 2). En calculant les dérivées de $P$ en 1, on a : - $P(1) = 0$ - $P'(1) = 0$ - $P''(1) = 0$ - $P^{(3)}(1) = 18$ Donc $$P(X) = \frac{18}{3!}(X-1)^3 + \text{termes de degré supérieur}.$$ $3! = 6$, donc $$P(X) = 3 (X-1)^3 + \, a_4 (X-1)^4 + a_5 (X-1)^5.$$ Calculons $a_4$ et $a_5$ en évaluant les dérivées 4ème et 5ème en 1. $$P^{(4)}(X) = 120X - 48,$$ $$P^{(4)}(1) = 120 - 48 = 72,$$ $$P^{(5)}(X) = 120,$$ $$P^{(5)}(1) = 120.$$ Le développement complet : $$P(X) = 3 (X-1)^3 + \frac{72}{4!}(X-1)^4 + \frac{120}{5!}(X-1)^5$$ Sachant que $4! = 24$ et $5! = 120$, on obtient $$P(X) = 3 (X-1)^3 + 3 (X-1)^4 + 1 (X-1)^5.$$ 4. **Valeur de $P^{(k)}(1)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$**: Pour $k < 3$, $P^{(k)}(1) = 0$ car racine d’ordre 3. Pour $k=3$, $P^{(3)}(1) = 18$. Pour $k=4$, $P^{(4)}(1) = 72$. Pour $k=5$, $P^{(5)}(1) = 120$. Pour $k > 5$, les dérivées supérieures sont nulles car $P$ est un polynôme de degré 5. **Réponse finale** : - 1 est racine de multiplicité 3. - Factorisation : $$P(X) = (X-1)^3 (X^2 + X + 1).$$ - Développement de Taylor en 1 : $$P(X) = 3 (X-1)^3 + 3 (X-1)^4 + (X-1)^5.$$ - Valeurs des dérivées : $$P^{(k)}(1) = 0 \text{ pour } k < 3,$$ $$P^{(3)}(1) = 18,$$ $$P^{(4)}(1) = 72,$$ $$P^{(5)}(1) = 120,$$ $$P^{(k)}(1) = 0 \text{ pour } k > 5.$$