1. **Énoncé du problème**: On a $X = \sqrt{6} - 2\sqrt{5}$ et $Y = \sqrt{6} + 2\sqrt{5}$. Nous devons: a. Écrire $X$ et $Y$ avec un seul radical. b. Calculer $X+Y$ et $X-Y$. 2. **Réécriture de $X$ et $Y$ avec un seul radical**: On cherche des formes de type $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ou $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ qui soient égales à $X$ et $Y$. Essayons d'écrire $X$ sous la forme $\sqrt{A} - \sqrt{B}$. En élevant au carré: $$X^2 = (\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 = A + B - 2\sqrt{AB}.$$ On veut que cela soit égal à: $$X^2 = (\sqrt{6} - 2\sqrt{5})^2 = 6 + 4 \times 5 - 2 \times 2 \sqrt{30} = 6 + 20 - 4\sqrt{30} = 26 - 4\sqrt{30}.$$ Cela implique: $$A + B = 26$$ $$2\sqrt{AB} = 4\sqrt{30} \implies \sqrt{AB} = 2\sqrt{30} \implies AB = 4 \times 30 = 120.$$ Résolvons le système: $$A + B = 26$$ $$AB = 120.$$ Les racines de $t^2 - 26t + 120 = 0$ sont: $$t = \frac{26 \pm \sqrt{26^2 - 4 \times 120}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{676 - 480}}{2} = \frac{26 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{26 \pm 14}{2}.$$ Ainsi: $$t_1 = \frac{26 + 14}{2} = 20, \quad t_2 = \frac{26 - 14}{2} = 6.$$ Donc $A=20$ et $B=6$ (ou l'inverse). Donc: $$X = \sqrt{20} - \sqrt{6}.$$ De même, pour $Y$, on a: $$Y = \sqrt{6} + 2\sqrt{5},$$ on peut l'écrire comme: $$Y = \sqrt{A} + \sqrt{B}.$$ En élevant au carré: $$Y^2 = A + B + 2\sqrt{AB}.$$ Comme précédemment: $$Y^2 = (\sqrt{6} + 2\sqrt{5})^2 = 6 + 20 + 4\sqrt{30} = 26 + 4\sqrt{30}.$$ On retrouve donc les mêmes $A$ et $B$ avec: $$A + B = 26$$ $$2\sqrt{AB} = 4\sqrt{30} \implies AB = 120.$$ Donc: $$Y = \sqrt{20} + \sqrt{6}.$$ 3. **Calcul de $X+Y$**: $$X + Y = (\sqrt{20} - \sqrt{6}) + (\sqrt{20} + \sqrt{6}) = 2 \sqrt{20} = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}.$$ 4. **Calcul de $X-Y$**: $$X - Y = (\sqrt{20} - \sqrt{6}) - (\sqrt{20} + \sqrt{6}) = -2 \sqrt{6}.$$ **Réponses finales:** a. $X = \sqrt{20} - \sqrt{6}$ et $Y = \sqrt{20} + \sqrt{6}$. b. $X + Y = 4 \sqrt{5}$ et $X - Y = -2 \sqrt{6}$.