1. Énonçons le problème : Trouver les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ vérifiant chacune des équations données dans l'exercice 3. 2. Résolvons la première équation : $$P - X P' = X.$$ Posons $P(X) = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, alors $P'(X) = \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}$. L'équation devient : $$\sum_{k=0}^n a_k X^k - X \sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} = X,$$ soit $$\sum_{k=0}^n a_k X^k - \sum_{k=1}^n k a_k X^k = X.$$ Pour chaque degré $k$, coefficient du membre de gauche est $a_k - k a_k = a_k(1 - k)$. Pour $k=1$, on a $a_1(1-1) = 0$ et la droite est $X$, donc coefficient de $X$ est $1$. Pour que l'équation soit vraie, il faut que les autres coefficients soient nuls et que le terme en $X$ corresponde. On déduit que tous les $a_k=0$ sauf peut-être pour $k=1$. Mais $a_1(1-1)=0$ ne contrôle rien, donc pour $k=1$ cela ne suffit pas. D'autre part, le côté droit est $X$, donc on cherche $P(X)$ tel que $P(X)- X P'(X)=X$. 3. Pour mieux comprendre, cherchons une solution générale : Posons $Q(X) = P(X)/X$, alors $P(X) = X Q(X)$ et $$P'(X) = Q(X) + X Q'(X).$$ Alors $$P - X P' = X Q - X (Q + X Q') = X Q - X Q - X^2 Q' = - X^2 Q'.$$ L'équation devient : $$-X^2 Q' = X \\\Rightarrow Q' = -\frac{1}{X}.$$ 4. Intégrons $Q'$ : $$Q(X) = -\int \frac{1}{X} dX = -\ln|X| + C,$$ mais $Q$ étant un polynôme, $ abla$ln$|X|$ n'est pas un polynôme donc l'unique solution polynomiale est la constante $Q'=0$, contradiction sauf si on confronte autrement. 5. Donc il n'existe pas de polynôme $P$ non trivial vérifiant la première équation sauf à vérifier directement. Pour vérifier, posons $P(X)=aX$ (degré 1) : $$P - X P' = aX - X a = 0 eq X,$$ donc $a=0$ est la seule option. 6. Essayons $P(X)=a X + b$ : $$P' = a, \\ P - X P' = a X + b - X a = b = X,$$ ce qui est impossible. 7. Par conséquent, il n'existe pas de polynôme $P$ satisfaisant la première équation. 8. Résolvons la deuxième équation : $$P'^{2} = 9 P.$$ 9. Posons $P(X) = a X^n$ polynôme monomial pour étudier les solutions simples. Alors $P'(X) = a n X^{n-1}$ et $$P'(X)^2 = (a n)^2 X^{2 n - 2}, \\ 9 P(X) = 9 a X^n.$$ Égalité des deux polynômes implique égalité des coefficients et degrés : $$2n - 2 = n \Rightarrow n=2,$$ et $$(a n)^2 =9 a \Rightarrow (2a)^2 =9 a \\ 4 a^2 = 9 a \\ a (4a -9) = 0.$$ Donc $a=0$ ou $a=9/4$. 10. En résumé, les solutions sont $P(X) = 0$ ou $P(X) = \frac{9}{4} X^2.$ 11. Vérifions pour $P(X) = \frac{9}{4} X^2$: $$P'(X) = \frac{9}{4} \cdot 2 X = \frac{9}{2} X,$$ $$P'^2 = \left( \frac{9}{2} X \right)^2 = \frac{81}{4} X^2,$$ $$9 P = 9 \cdot \frac{9}{4} X^2 = \frac{81}{4} X^2,$$ donc l'équation est satisfaite. 12. Résolvons la troisième équation: $$(X^2 +4) P'' = 6 P.$$ 13. Pour $P(X) = a X^n$, on a : $$P'' = a n (n-1) X^{n-2}.$$ L'équation devient : $$(X^2 + 4) a n (n-1) X^{n-2} = 6 a X^n,$$ soit $$a n (n-1) X^{n} + 4 a n (n-1) X^{n-2} = 6 a X^n,$$ d'où $$a n (n-1) X^{n} + 4 a n (n-1) X^{n-2} - 6 a X^n = 0,$$ regroupant les puissances, $$a n (n-1) X^n - 6 a X^n + 4 a n (n-1) X^{n-2} = 0,$$ 14. Divisons par $a X^{n-2}$ (en supposant $a \neq 0$ et $n \ge 2$): $$n(n-1) X^2 - 6 X^2 + 4 n (n-1) = 0,$$ $$igl(n(n-1) - 6\bigr) X^2 + 4 n(n-1) = 0.$$ Pour que cette égalité soit vraie pour tout $X$, les coefficients doivent être nuls : 15. On résout : $$\begin{cases} n(n-1) -6=0 \\ 4 n (n-1)=0 \end{cases}$$ De la deuxième équation, soit $n=0$ ou $n=1$. 16. Vérifions avec $n=0$: $n(n-1)-6 = 0(0-1)-6 = -6 \neq 0$; avec $n=1$: $1(0)-6 = -6 \neq 0$. Donc aucune valeur de $n$ simultanée ne satisfait les deux équations. 17. Conclusion: aucune solution monomiale non nulle ne satisfait cette équation. 18. Cherchons une solution quadratique $P(X) = a X^2 + b X + c$. 19. Calculons $P''(X) = 2a$ constant. L'équation devient $$(X^2 + 4) 2 a = 6 (a X^2 + b X + c),$$ soit $$2 a X^2 + 8 a = 6 a X^2 + 6 b X + 6 c.$$ 20. Réorganisons $$2 a X^2 - 6 a X^2 + 8 a - 6 b X - 6 c = 0,$$ $$(-4 a) X^2 - 6 b X + (8 a - 6 c) = 0.$$ 21. Pour que cet polynôme soit nul pour tout $X$, chaque coefficient doit être nul : $$\begin{cases} -4 a = 0 \\ -6 b = 0 \\ 8 a - 6 c = 0 \end{cases}$$ 22. Résolvons : $a=0$, puis $b=0$, et enfin $8·0 - 6 c=0 \Rightarrow c=0$. 23. Donc la seule solution est $P(X) = 0$. 24. Résumé des solutions de l'exercice 3 : - Pour (1) il n'existe pas de solution polynomiale non nulle. - Pour (2), les solutions sont $P=0$ et $P=\frac{9}{4} X^2$. - Pour (3), la seule solution polynomiale est $P=0$. **Réponse finale :** - Equation (1) : Pas de polynôme non nul solution. - Equation (2) : $P(X) = 0$ ou $P(X) = \frac{9}{4} X^2$. - Equation (3) : $P(X) = 0$.