1. Énoncé : Montrer que $Z(G) = \{ g \in G \mid gx = xg, \forall x \in G \}$ est un sous-groupe distingué de $G$ et que $Z(G)$ est abélien. Étapes : 1. Par définition, $Z(G)$ est le centre de $G$, l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de $G$. 2. Montrons que $Z(G)$ est un sous-groupe : - Contient l'identité $e$, car $ex = xe = x$ pour tout $x$. - Si $a,b \in Z(G)$, alors pour tout $x \in G$, $(ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab)$, donc $ab \in Z(G)$. - Pour $a \in Z(G)$, $a^{-1}$ commute aussi avec tout $x$ : $a^{-1}x = a^{-1}xaa^{-1} = a^{-1}a x a^{-1} = x a^{-1}$. 3. Montrons que $Z(G)$ est distingué : pour $h \in Z(G)$ et $g \in G$, calculons $ghg^{-1}$. - Pour tout $x \in G$, $(ghg^{-1})x = gh(g^{-1}x) = g(g^{-1}x)h = xh = h x$. - Comme $h$ commute avec tout $x$, alors $ghg^{-1} = h \in Z(G)$, donc $Z(G)$ est stable par conjugaison et donc distingué. 4. $Z(G)$ est abélien par construction : pour $a,b \in Z(G)$, $ab=ba$. 2. Énoncé : Montrer que si $H \subset Z(G)$ est un sous-groupe de $G$, alors $H$ est distingué dans $G$ et $H$ est abélien. Étapes : 1. Puisque $H \subset Z(G)$, tous éléments de $H$ commutent avec tout $x \in G$. 2. Pour $h \in H$, $g \in G$, on a $ghg^{-1} = h$ car $h$ commute avec $g$. 3. Ainsi $H$ est stable par conjugaison, donc distingué. 4. De plus, comme $H$ est inclus dans $Z(G)$ qui est abélien, $H$ est abélien. 3. Énoncé : Montrer qu'un sous-groupe $K$ abélien de $G$ n'est pas forcément inclus dans $Z(G)$. Étapes : 1. Exemple classique : $G$ groupe non abélien, par exemple $S_3$, le groupe symétrique sur 3 éléments. 2. Considérons $K$ un sous-groupe cyclique engendré par une transposition, $K \cong \mathbb{Z}_2$, qui est abélien. 3. $K$ est abélien mais n'est pas dans $Z(G)$ car une transposition ne commute pas avec tous les éléments de $S_3$. 4. Énoncé : Montrer que $G$ est abélien si et seulement si $G = Z(G)$. Étapes : 1. Si $G$ est abélien, alors pour tout $g,x \in G$, $gx = xg$, donc $G \subset Z(G)$ et triviale que $Z(G) \subset G$, donc $G=Z(G)$. 2. Réciproquement, si $G=Z(G)$, alors tout élément commute avec tous les autres, donc $G$ est abélien. Réponse finale : $Z(G)$ est un sous-groupe distingué abélien de $G$. Tout sous-groupe $H$ de $Z(G)$ est distingué et abélien. Un sous-groupe abélien $K$ de $G$ n'est pas forcément dans $Z(G)$. $G$ est abélien si et seulement si $G=Z(G)$.