📘 logique mathématique

1. **Énoncé du problème** : Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. $(P \wedge Q) \wedge R$ et $P \wedge (Q \wedge R)$

1. Énoncé : Déterminer la vérité des assertions logiques suivantes. 2. Rappel des symboles et règles :

1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\)

1. Énoncé du problème : Nous devons analyser six propositions mathématiques impliquant des quantificateurs et des inégalités ou équations.

1. Énoncé : Pour tous $x,y \in \mathbb{R}^+$, $x + y \leq xy$. Négation : Il existe $x,y \in \mathbb{R}^+$ tels que $x + y > xy$.

1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\).

1. Énoncé : \( (\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+) : x + y \leq xy \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R}^+)(\exists y \in \mathbb{R}^+) : x + y > xy \)\

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la proposition (P) : $(\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 + 3x - 4 = 0)$ est vraie. 2. **Formule et règles importantes :** Pour montrer qu'une

1. Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{n(n^2+1)}{2} \in \mathbb{N}$. 2. Utilisons le raisonnement par disjonction des cas :

1. **Énoncé du problème :** (a) : \(\forall x \in ]-\infty, 0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\).

1. Énoncé du problème : (a) : \(\forall x \in ]-\infty,0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\).

1. **Énoncé du problème** : Donner la négation et la valeur de vérité des propositions suivantes : - $(P): (\forall x \in [-1;1])(\forall y \in [-1;1]), -1 \leq x+y \leq 1$

1. Le raisonnement par cas est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver une affirmation en divisant le problème en plusieurs cas distincts. 2. Chaque cas est analysé sépa

1. **Énoncé du problème :** - Déterminer la valeur de vérité des propositions :

1. **Énoncé du problème :** Nous devons écrire la négation des propositions suivantes :

1. **Énoncé du problème :** Nous devons déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes et écrire leur négation :

1. **Énoncé du problème** : On doit déterminer la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes :

1. Enoncer le problème : On considère la proposition \( R : (\forall x \in \mathbb{R}, x^3 = 25 \implies x = 5) \).

1. Écrivons les propositions à l'aide des quantificateurs : 1.1. Pour P₁ : « Quel que soit m un entier relatif, il existe au moins un entier naturel n tel que m + n \leq 12 » s'écr

1. Énoncé du problème : Soit la proposition $R : (\exists b \in \mathbb{R}) (\forall a \in \mathbb{R}), \frac{a^2}{1+a^2} \ge b \Rightarrow (\forall a \in \mathbb{R}^+), \sqrt{1+a}

1. **Énoncé du problème :** Écrire la négation des propositions données.