1. **Énoncé du problème** : Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : 1. $(P \wedge Q) \wedge R$ et $P \wedge (Q \wedge R)$ 2. $(P \vee Q) \vee R$ et $P \vee (Q \vee R)$ 3. $P \wedge (Q \vee R)$ et $(P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$ 4. $[(P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow R)]$ et $P \Rightarrow R$ 2. **Formules et règles importantes** : - L'opérateur $\wedge$ (et) est associatif : $ (A \wedge B) \wedge C = A \wedge (B \wedge C)$ - L'opérateur $\vee$ (ou) est associatif : $ (A \vee B) \vee C = A \vee (B \vee C)$ - La distributivité : $A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$ - La transitivité de l'implication : Si $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow R$, alors $P \Rightarrow R$ 3. **Démonstrations** : 1. $(P \wedge Q) \wedge R = P \wedge (Q \wedge R)$ Par associativité de $\wedge$, on peut regrouper les propositions sans changer la valeur de vérité. 2. $(P \vee Q) \vee R = P \vee (Q \vee R)$ Par associativité de $\vee$, on peut regrouper les propositions sans changer la valeur de vérité. 3. $P \wedge (Q \vee R) = (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$ Par distributivité de $\wedge$ sur $\vee$, on distribue $P$ sur la disjonction $Q \vee R$. 4. $[(P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow R)] = P \Rightarrow R$ Par transitivité de l'implication, si $P$ implique $Q$ et $Q$ implique $R$, alors $P$ implique $R$. 4. **Conclusion** : Les quatre paires de propositions sont équivalentes selon les propriétés associatives, distributives et transitives des connecteurs logiques. **Réponse finale** : Les propositions données sont équivalentes selon les règles classiques de la logique propositionnelle.