1. **Énoncé du problème** : Donner la négation et la valeur de vérité des propositions suivantes : - $(P): (\forall x \in [-1;1])(\forall y \in [-1;1]), -1 \leq x+y \leq 1$ - $(R): (\exists a \in \mathbb{Q})(\exists b \in \mathbb{N}) \quad a+b=2026$ - $(Q): (\forall x \in \mathbb{R}), \left(x^2 \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow x \in \mathbb{Q} \right)$ 2. **Négation et valeur de vérité de $(P)$** : - Négation : $\exists x \in [-1;1], \exists y \in [-1;1]$ tel que $x+y < -1$ ou $x+y > 1$. - Valeur de vérité : Faux, car par exemple $x=1$ et $y=1$ donnent $x+y=2 > 1$. 3. **Négation et valeur de vérité de $(R)$** : - Négation : $\forall a \in \mathbb{Q}, \forall b \in \mathbb{N}, a+b \neq 2026$. - Valeur de vérité : Vrai, car on peut choisir $a=2026 - b$ avec $b \in \mathbb{N}$, donc il existe bien de tels $a,b$. 4. **Négation et valeur de vérité de $(Q)$** : - Négation : $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 \in \mathbb{Q}$ et $x \notin \mathbb{Q}$, ou $x^2 \notin \mathbb{Q}$ et $x \in \mathbb{Q}$. - Valeur de vérité : Faux, car il existe des nombres irrationnels $x$ dont le carré est rationnel (exemple $x=\sqrt{2}$, $x^2=2 \in \mathbb{Q}$). --- 5. **Énoncé du problème** : Montrer que $$\left[ (P \text{ et } \overline{Q}) \Rightarrow R \right] \Leftrightarrow \left[P \Rightarrow (Q \text{ ou } R)\right]$$ 6. **Démonstration** : - Utiliser les lois logiques et équivalences : - $(P \wedge \neg Q) \Rightarrow R$ est équivalent à $\neg (P \wedge \neg Q) \vee R$. - $\neg (P \wedge \neg Q) = \neg P \vee Q$. - Donc, $(P \wedge \neg Q) \Rightarrow R$ équivaut à $(\neg P \vee Q) \vee R = \neg P \vee (Q \vee R)$. - Or, $P \Rightarrow (Q \vee R)$ est aussi $\neg P \vee (Q \vee R)$. - Donc les deux propositions sont logiquement équivalentes. --- 7. **Énoncé du problème** : Montrer que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $$|x| < \frac{1}{2} \text{ et } |y-2| < \frac{1}{2} \Rightarrow 1 < \frac{2y}{y-x} < 5.$$ 8. **Démonstration** : - $|x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$. - $|y-2| < \frac{1}{2} \Rightarrow 1.5 < y < 2.5$. - Calcul du dénominateur : $y - x > 1.5 - 0.5 = 1$ (car $x < 0.5$). - Calcul du numérateur : $2y$ est entre $3$ et $5$. - Donc $\frac{2y}{y-x} > \frac{3}{2.5} = 1.2 > 1$ et $\frac{2y}{y-x} < \frac{5}{1} = 5$. - Conclusion : $1 < \frac{2y}{y-x} < 5$. --- 9. **Énoncé du problème** : Montrer que pour $x,y > 0$, $$x \neq y \Rightarrow \sqrt{x+1} + \sqrt{x} \neq \sqrt{y+1} + \sqrt{y}.$$ 10. **Démonstration** : - Supposons $\sqrt{x+1} + \sqrt{x} = \sqrt{y+1} + \sqrt{y}$. - Montrer que cela implique $x=y$ par analyse ou contradiction. - En effet, la fonction $f(t) = \sqrt{t+1} + \sqrt{t}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. - Donc $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$. - Conclusion : $x \neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$. --- 11. **Énoncé du problème** : Montrer par l’absurde que $$\left[ (\forall \varepsilon > 0) \quad a^2 + b^2 < \varepsilon \right] \Rightarrow a = b = 0.$$ 12. **Démonstration** : - Supposons $a^2 + b^2 \neq 0$. - Alors $a^2 + b^2 = c > 0$. - Choisissons $\varepsilon = \frac{c}{2} > 0$. - Alors $a^2 + b^2 = c \not< \varepsilon$, contradiction. - Donc $a = b = 0$. --- 13. **Énoncé du problème** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $$\sqrt{x+1} > x - 1.$$ 14. **Résolution** : - Domaine : $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. - Posons $f(x) = \sqrt{x+1} - (x-1)$. - Étudions le signe de $f(x)$ sur $[-1, +\infty)$. - Élevons au carré (attention au sens) : $\sqrt{x+1} > x-1 \Rightarrow x+1 > (x-1)^2$ si $x-1 \geq 0$. - Cas 1 : $x-1 \leq 0 \Rightarrow x \leq 1$, alors $\sqrt{x+1} > x-1$ est vrai car $x-1 \leq 0$ et $\sqrt{x+1} \geq 0$. - Cas 2 : $x > 1$, alors $x+1 > (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. - Réarrangeons : $x+1 > x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 0 > x^2 - 3x$. - $x^2 - 3x < 0 \Rightarrow x(x-3) < 0 \Rightarrow x \in (0,3)$. - En combinant avec $x > 1$, on a $x \in (1,3)$. - Conclusion : solution est $[-1,1] \cup (1,3)$. --- 15. **Énoncé du problème** : Montrer par récurrence que $$\forall n \geq 4, \quad 2^n \geq n^2,$$ et $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad 7 \text{ divise } 3^{2n+1} + 2^{n+2}.$$ 16. **Démonstration** : - Pour $2^n \geq n^2$ : - Initialisation : $n=4$, $2^4=16$, $4^2=16$, vrai. - Hérédité : Supposons $2^k \geq k^2$ pour $k \geq 4$. - Montrons $2^{k+1} \geq (k+1)^2$. - $2^{k+1} = 2 \times 2^k \geq 2 k^2$. - Il suffit de montrer $2 k^2 \geq (k+1)^2 = k^2 + 2k +1$. - $2 k^2 - (k^2 + 2k +1) = k^2 - 2k -1$. - Pour $k \geq 4$, $k^2 - 2k -1 = 16 - 8 -1 =7 > 0$, donc vrai. - Pour la divisibilité par 7 : - Initialisation $n=0$: $3^{1} + 2^{2} = 3 + 4 = 7$, divisible par 7. - Hérédité : Supposons divisible pour $n=k$. - Montrons pour $n=k+1$ : - $3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} = 3^{2k+3} + 2^{k+3} = 3^2 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} = 9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2}$. - Par hypothèse, $3^{2k+1} + 2^{k+2}$ est divisible par 7. - On peut écrire $9 \cdot 3^{2k+1} + 2 \cdot 2^{k+2} = 7 \cdot 3^{2k+1} + 2 (3^{2k+1} + 2^{k+2})$. - Les deux termes sont divisibles par 7, donc la somme aussi. --- 17. **Énoncé du problème** : Soient $A,B,C$ des parties d'un ensemble non vide $E$. - Simplifier : $$\left[A \cup \left( A \cap \overline{B} \right) \right] \cap \overline{A} \quad ; \quad (A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B} \right)$$ 18. **Simplification** : - $A \cup (A \cap \overline{B}) = A$ car $A$ contient $A \cap \overline{B}$. - Donc $[A \cup (A \cap \overline{B})] \cap \overline{A} = A \cap \overline{A} = \emptyset$. - $(A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = A \cap (B \cup \overline{B}) = A \cap E = A$. --- 19. **Énoncé du problème** : Montrer que $$A \cap B \subset (A \cap C) \cup (B \cap \overline{C})$$ et $$ (A \setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C).$$ 20. **Démonstration** : - Soit $x \in A \cap B$. - Alors $x \in A$ et $x \in B$. - Si $x \in C$, alors $x \in A \cap C$ donc dans le membre de droite. - Sinon $x \notin C$, donc $x \in B \cap \overline{C}$. - Donc $A \cap B \subset (A \cap C) \cup (B \cap \overline{C})$. - Pour le produit cartésien : - $(A \setminus B) \times C = \{(a,c) | a \in A \setminus B, c \in C\}$. - $(A \times C) \setminus (B \times C) = \{(a,c) | a \in A, c \in C\} \setminus \{(b,c) | b \in B, c \in C\}$. - Donc $(a,c)$ appartient au second ensemble si $a \in A$ et $a \notin B$, donc égal au premier. --- 21. **Bonus 1** : Montrer que $$a^2 + b^2 \notin \mathbb{Q} \Rightarrow ab \notin \mathbb{Q} \text{ ou } a+b \notin \mathbb{Q}.$$ - Supposons par l'absurde que $ab \in \mathbb{Q}$ et $a+b \in \mathbb{Q}$. - Alors $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est rationnel. - Comme $ab$ est rationnel, $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ est rationnel. - Contradiction avec l'hypothèse. --- 22. **Bonus 2** : Montrer que $$(A \cup B) \cap (B \cup C) \cap (C \cup A) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A).$$ - Inclusion $\subset$ : - Soit $x$ dans le membre de gauche. - $x$ appartient à au moins deux des ensembles $A,B,C$ car il est dans toutes les unions. - Donc $x$ appartient à au moins une des intersections à droite. - Inclusion $\supset$ : - Si $x$ appartient à une des intersections à droite, alors il appartient à deux ensembles parmi $A,B,C$. - Donc $x$ appartient à toutes les unions à gauche. - Conclusion : égalité des ensembles.