1. Énoncé du problème : (a) : \(\forall x \in ]-\infty,0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\). Nous devons dire si cette proposition est vraie ou fausse, justifier la réponse, puis donner sa négation. 2. Analyse de la proposition (a) : - Pour tout \(x \leq 0\) et pour tout réel \(y\), on affirme que \(y^2 > x\). - Rappel : \(y^2 \geq 0\) pour tout \(y \in \mathbb{R}\). 3. Vérification : - Si \(x \leq 0\), alors \(y^2 \geq 0 > x\) sauf si \(x=0\) et \(y=0\) où \(y^2 = x = 0\). - Donc \(y^2 > x\) est faux pour \(x=0\) et \(y=0\) car \(0 \not> 0\). 4. Conclusion : - La proposition (a) est fausse. 5. Négation de (a) : - La négation de \(\forall x, \forall y : y^2 > x\) est \(\exists x \in ]-\infty,0], \exists y \in \mathbb{R} : y^2 \leq x\). --- 6. Énoncé du problème (P) : \(\forall n \in \mathbb{N} : n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\). Nous devons montrer que (P) est vraie par deux méthodes : --- 7. Méthode directe : - Soit \(n = 2k+1\) un entier impair, \(k \in \mathbb{N}\). - Calculons \(n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). - \(n^2\) est donc de la forme \(2m + 1\) avec \(m = 2k^2 + 2k \in \mathbb{N}\), donc impair. 8. Méthode de la contraposée : - La contraposée de \(n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\) est : \(n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}\). - Supposons \(n^2\) pair, alors \(n^2 = 2m\) pour un entier \(m\). - Si \(n\) était impair, \(n = 2k+1\), alors \(n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) impair, contradiction. - Donc \(n\) est pair. 9. Conclusion : - La proposition (P) est vraie par les deux méthodes.