1. Énoncé : Pour tous $x,y \in \mathbb{R}^+$, $x + y \leq xy$. Négation : Il existe $x,y \in \mathbb{R}^+$ tels que $x + y > xy$. Valeur de vérité : Faux, car par exemple pour $x=y=1$, $1+1=2$ et $1\times1=1$, donc $2 \leq 1$ est faux. 2. Énoncé : Pour tous $x,y \in \mathbb{R}^+$, $x + y > xy$. Négation : Il existe $x,y \in \mathbb{R}^+$ tels que $x + y \leq xy$. Valeur de vérité : Faux, car pour $x=y=2$, $2+2=4$ et $2\times2=4$, donc $4 > 4$ est faux. 3. Énoncé : Pour tout $y \in \mathbb{R}^+$, il existe $x \in \mathbb{R}^+$ tel que $\cos(x) = y$. Négation : Il existe $y \in \mathbb{R}^+$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $\cos(x) \neq y$. Valeur de vérité : Faux, car $\cos(x)$ prend toutes les valeurs dans $[-1,1]$, mais $\mathbb{R}^+$ est $(0, +\infty)$, donc par exemple pour $y=2$, il n'existe pas $x$ tel que $\cos(x)=2$. 4. Énoncé : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 + x + 1 > 0$. Négation : Il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 + x + 1 \leq 0$. Valeur de vérité : Vrai, car le discriminant $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, donc $x^2 + x + 1$ est toujours strictement positif. 5. Énoncé : $P :$ Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $y \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 + y - 2xy = 0$. Négation : Il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $y \in \mathbb{R}$, $x^2 + y - 2xy \neq 0$. Valeur de vérité : Vrai, car pour chaque $x$, on peut résoudre $y - 2xy = -x^2 \Rightarrow y(1 - 2x) = -x^2$. Si $x \neq \frac{1}{2}$, alors $y = \frac{-x^2}{1 - 2x}$ existe. Si $x = \frac{1}{2}$, alors $x^2 + y - 2xy = \frac{1}{4} + y - y = \frac{1}{4} \neq 0$ pour tout $y$, donc la négation est fausse. Donc $P$ est vrai. 6. Énoncé : $Q :$ Il existe $y \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\frac{x}{1 + x^2} \leq y$. Négation : Pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $\frac{x}{1 + x^2} > y$. Valeur de vérité : Vrai, car $\frac{x}{1+x^2}$ est bornée supérieurement par $\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$ (maximum atteint en $x=1$). Donc on peut choisir $y=\frac{1}{2}$ et pour tout $x$, $\frac{x}{1+x^2} \leq \frac{1}{2}$.