1. Énoncé du problème : Soit la proposition $R : (\exists b \in \mathbb{R}) (\forall a \in \mathbb{R}), \frac{a^2}{1+a^2} \ge b \Rightarrow (\forall a \in \mathbb{R}^+), \sqrt{1+a} \neq 1 \, \sqrt{1+a}$. (a) Donner la négation de $R$. 2. Analysons la proposition $R$. - $R$ affirme qu'il existe un réel $b$ tel que pour tout réel $a$, $\frac{a^2}{1+a^2} \ge b$, et ceci implique que pour tout réel positif $a$, $\sqrt{1+a} \neq 1\sqrt{1+a}$. 3. La négation de $R$ est : $$\neg R : \forall b \in \mathbb{R}, \exists a \in \mathbb{R} \text{ tel que } \frac{a^2}{1+a^2} < b \text{ et } (\exists a \in \mathbb{R}^+ \, : \, \sqrt{1+a} = 1\sqrt{1+a}).$$ C'est-à-dire que pour tout réel $b$, il existe un $a$ qui contredit l'inégalité, et il existe un $a$ positif tel que $\sqrt{1+a}$ égale $1 \times \sqrt{1+a}$ (ce qui est trivialement vrai). 4. Étudions la valeur de vérité de $R$. - Pour tout $a \in \mathbb{R}$, on a $\frac{a^2}{1+a^2} \in [0,1)$. - En effet, $a^2 \ge 0$ et $1+a^2 \ge 1$, donc $\frac{a^2}{1+a^2} < 1$. - Donc la borne inférieure la plus petite possible est $0$. - En prenant $b=0$, pour tout $a$, $\frac{a^2}{1+a^2} \ge 0$ est vrai. - L'implication est donc vraie pour ce $b$. - Maintenant, voyons la deuxième partie : pour tout $a \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt{1+a} \neq 1 \sqrt{1+a}$. - Mais $1 \times \sqrt{1+a} = \sqrt{1+a}$. - Donc cette assertion est fausse car $\sqrt{1+a} = 1 \times \sqrt{1+a}$ est une égalité vraie. - Ainsi, l'implication entière est fausse car la conclusion est fausse. 5. Conclusion : - Il existe $b$ (par exemple $b=0$), tel que la prémisse est vraie pour tout $a$, mais la conclusion est fausse. - Donc $R$ est fausse. Réponses finales : (a) $$\neg R : \forall b \in \mathbb{R}, \exists a \in \mathbb{R} \text{ tel que } \frac{a^2}{1+a^2} < b \text{ et } (\exists a \in \mathbb{R}^+, \sqrt{1+a} = 1 \sqrt{1+a}).$$ (b) La proposition $R$ est fausse.