1. **Énoncé du problème :** (a) : \(\forall x \in ]-\infty, 0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\). Nous devons dire si cette proposition est vraie ou fausse, puis donner sa négation. 2. **Analyse de la proposition (a) :** - Pour tout \(x \leq 0\) et pour tout réel \(y\), est-il vrai que \(y^2 > x\) ? - Rappel : \(y^2 \geq 0\) pour tout \(y \in \mathbb{R}\). - Comme \(x \leq 0\), alors \(y^2 \geq 0 > x\) sauf si \(x=0\) et \(y=0\) où \(y^2 = x = 0\). - La proposition dit \(y^2 > x\), strictement supérieur, or pour \(x=0\) et \(y=0\), \(y^2 = x\), donc \(y^2 > x\) est faux. - Conclusion : la proposition (a) est **fausse**. 3. **Négation de la proposition (a) :** La négation de \(\forall x \in ]-\infty, 0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\) est : \(\exists x_0 \in ]-\infty, 0], \exists y_0 \in \mathbb{R} : y_0^2 \leq x_0\). 4. **Énoncé du problème (P) :** \(\forall n \in \mathbb{N} : n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\). Nous devons montrer que (P) est vraie par deux méthodes : --- **Méthode directe :** 1. Soit \(n\) un entier impair, donc \(n = 2k + 1\) pour un certain \(k \in \mathbb{N}\). 2. Calculons \(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). 3. Comme \(2k^2 + 2k\) est un entier, \(n^2\) est de la forme \(2m + 1\), donc impair. 4. Conclusion : si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair. --- **Méthode par contraposée :** 1. La contraposée de \(n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\) est : \(n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}\). 2. Supposons que \(n^2\) est pair. 3. Alors \(n^2 = 2m\) pour un certain entier \(m\). 4. Or, si \(n\) était impair, \(n^2\) serait impair (par la méthode directe), ce qui contredit l'hypothèse. 5. Donc \(n\) doit être pair. 6. Conclusion : la contraposée est vraie, donc la proposition (P) est vraie. --- **Réponse finale :** - La proposition (a) est fausse. - Sa négation est \(\exists x_0 \in ]-\infty, 0], \exists y_0 \in \mathbb{R} : y_0^2 \leq x_0\). - La proposition (P) est vraie, démontrée par la méthode directe et par la contraposée.