1. **Énoncé du problème :** Écrire la négation des propositions données. 2. **Négations :** - Négation de $P \wedge Q$ est $\neg (P \wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q$. - Négation de $P \vee (Q \wedge R)$ est $\neg (P \vee (Q \wedge R)) \equiv \neg P \wedge \neg (Q \wedge R) \equiv \neg P \wedge (\neg Q \vee \neg R)$. - Négation de $P \Rightarrow Q$ est $\neg (P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \neg Q$. - Négation de $P \Rightarrow Q$ (même que précédent) est $P \wedge \neg Q$. - Négation de $(P \wedge Q) \Rightarrow R$ est $\neg ((P \wedge Q) \Rightarrow R) \equiv (P \wedge Q) \wedge \neg R$. --- 1. **Énoncé :** Montrer avec une table de vérité les équivalences et implications logiques. 2. **Tables de vérité simplifiées et conclusions :** - $P \wedge (Q \wedge R) \Leftrightarrow (P \wedge Q) \wedge R$ est *vraie* car la conjonction est associative. - $P \wedge (Q \vee R) \Leftrightarrow (P \wedge Q) \vee (P \wedge R)$ est *vraie* par distributivité. - $(P \Rightarrow Q \wedge Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$ est *vraie* car implication suit la transitivité. - $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (Q \Rightarrow P)$ est *fausse* car implication n'est pas symétrique. - $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (P \wedge Q)$ est *fausse* car implication est différente de conjonction. --- 1. **Énoncé :** Déterminer la vérité des assertions et leur négation. 2. **Réponses :** - $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : x + y > 0$ est *fausse* car pour un $x$ fixé, il existe $y$ tel que $x+y \leq 0$. Négation : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x + y \leq 0$. - $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x + y > 0$ est *vraie* car on peut choisir $y = -x + 1$ par exemple. Négation : $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : x + y \leq 0$. - $\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : x + y > 0$ est *fausse*. Négation : $\exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x + y \leq 0$. - $\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x$ est *vraie* car choisir $x = -1$ fonctionne (toutes les $y^2 \geq 0 > -1$). Négation : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : y^2 \leq x$. --- 1. **Énoncé :** Utiliser la contraposée pour prouver des implications. 2. **Démonstrations par contraposée :** - $(n\text{ premier}) \Rightarrow (n=2 \text{ ou } n \text{ impair})$: contraposée: $n \text{ pair et } n \neq 2 \Rightarrow n \text{ non premier}$ est vraie car pairs > 2 sont non premiers. - $(n^2 \text{ pair}) \Rightarrow (n \text{ pair})$: contraposée: $n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}$ vraie car produit impair toujours impair. - $x \neq y \Rightarrow (x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)$: contraposée: égalité implique $x=y$, vérification algébrique simple. --- 1. **Énoncé :** Montrer par l'absurde que $\forall x,y \in \mathbb{R}^+ : \frac{x}{1+y} = \frac{y}{1+x} \Rightarrow x = y$. 2. **Preuve par l'absurde :** Supposons $x \neq y$ avec $\frac{x}{1+y} = \frac{y}{1+x}$. Multiplions croisément : $x(1+x) = y(1+y)$. $ x + x^2 = y + y^2$. $ x^2 - y^2 = y - x$. $(x-y)(x+y) = y - x$. $(x-y)(x+y) = -(x-y)$. Si $x \neq y$, on divise par $(x-y)$ : $x+y = -1$. Or $x,y > 0$ donc $x+y > 0$, contradiction. Donc $x=y$. --- 1. **Énoncé :** Montrer par récurrence que $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$. 2. **Preuve par récurrence :** - Initialisation $n=1$: $1^3=1$ et $\frac{1^2 \cdot 2^2}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4}=1$ vraie. - Hypothèse : vrai pour $n=k$. - Étape $n=k+1$ : $$1^3+...+k^3+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right).$$ Simplifions : $$= (k+1)^2 \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}.$$ Vrai. Donc formule vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. --- 1. **Énoncé :** Montrer par récurrence que $4^n + 6n - 1$ est multiple de 9. 2. **Preuve par récurrence :** - Initialisation $n=1$: $4^1 + 6 \cdot 1 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$ multiple de 9. - Hypothèse pour $n=k$ : $4^k + 6k - 1 = 9m$ pour un entier $m$. - Étape $k+1$: $4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 6 - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 5$. En substituant, $$= 4(4^k + 6k - 1) - 24k + 6k + 5 = 4 \cdot 9m - 18k + 5 = 36m - 18k + 5.$$ Vérifions à nouveau en refaisant le calcul pour trouver une erreur : $$4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 6 - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 5.$$ Or $4^k + 6k - 1 = 9m$ donc $4^k = 9m - 6k + 1$. Donc $$4^{k+1} + 6(k+1) -1 = 4(9m - 6k + 1) + 6k + 5 = 36m - 24k + 4 + 6k + 5 = 36m - 18k + 9 = 9(4m - 2k + 1).$$ Donc multiple de 9. --- **Réponse finale:** Toutes les preuves et explications des exercices sont fournies ci-dessus étape par étape.