1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\) Valeur de vérité : Faux, car pour certains \(x,y\) positifs, par exemple \(x = y = 1\), \(x + y = 2 > 1 = xy\). 2. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\) Valeur de vérité : Faux, car pour certains \(x,y\) positifs, par exemple \(x = y = 3\), \(x + y = 6 < 9 = xy\). 3. Énoncé : \(\forall y \in \mathbb{R}^+, \exists x \in \mathbb{R}^+ : \cos(x) = y\) Négation : \(\exists y \in \mathbb{R}^+ : \forall x \in \mathbb{R}^+, \cos(x) \neq y\) Valeur de vérité : Faux, car \(\cos(x)\) prend des valeurs dans \([-1,1]\) mais pas toutes les valeurs positives supérieures à 1, donc certains \(y > 1\) n'ont pas d'antécédent. 4. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 > 0\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 \leq 0\) Valeur de vérité : Vrai, car le discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) donc \(x^2 + x + 1 > 0\) pour tout \(x\). 5. Énoncé : \(P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x^2 + y - 2xy = 0\) Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R} : x^2 + y - 2xy \neq 0\) Valeur de vérité : Vrai, car pour chaque \(x\), on peut résoudre \(y - 2xy = -x^2\) soit \(y(1 - 2x) = -x^2\), donc \(y = \frac{-x^2}{1 - 2x}\) si \(1 - 2x \neq 0\). Si \(x = \frac{1}{2}\), alors \(y - 2\cdot \frac{1}{2} y = y - y = 0\) donc \(x^2 + y - 2xy = x^2 = \frac{1}{4} \neq 0\) pour tout \(y\), donc la négation est fausse, donc \(P\) est vraie. 6. Énoncé : \(Q : \exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R} : \frac{x}{1 + x^2} \leq y\) Négation : \(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R} : \frac{x}{1 + x^2} > y\) Valeur de vérité : Vrai, car la fonction \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\) est bornée, son maximum est \(\frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\) atteint en \(x = 1\). Donc on peut choisir \(y = \frac{1}{2}\) et pour tout \(x\), \(f(x) \leq y\). Donc \(Q\) est vraie.