1. **Énoncé du problème :** Nous devons écrire la négation des propositions suivantes : $$P_1 : (\exists x \in \mathbb{R}) ; (x^2 > 4 \ \text{et} \ x \in \mathbb{Z})$$ $$P_2 : (\exists x \in \mathbb{R}) (\forall y \in \mathbb{R}) : x - y > 1$$ $$P_3 : (\forall (x ; y) \in \mathbb{R}^2) \ (x + y > 2 \Rightarrow (x > 1 \ \text{ou} \ y > 1))$$ 2. **Négation de chaque proposition :** - Pour $P_1$ : $$\neg P_1 : (\forall x \in \mathbb{R}), \neg (x^2 > 4 \ \text{et} \ x \in \mathbb{Z})$$ Ce qui équivaut à : $$\forall x \in \mathbb{R}, (x^2 \leq 4 \ \text{ou} \ x \notin \mathbb{Z})$$ - Pour $P_2$ : $$\neg P_2 : \neg (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x - y > 1$$ $$= (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x - y \leq 1$$ - Pour $P_3$ : $$\neg P_3 : \neg (\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2) (x + y > 2 \Rightarrow (x > 1 \ \text{ou} \ y > 1))$$ $$= (\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2) \neg (x + y > 2 \Rightarrow (x > 1 \ \text{ou} \ y > 1))$$ Rappel : $A \Rightarrow B$ est équivalent à $\neg A \text{ ou } B$, donc sa négation est $A \text{ et } \neg B$. Donc : $$= (\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2) (x + y > 2 \ \text{et} \ (x \leq 1 \ \text{et} \ y \leq 1))$$ 3. **Étude de la vérité des propositions :** - $P_1$ : Existe-t-il un $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 > 4$ et $x \in \mathbb{Z}$ ? Oui, par exemple $x=3$ car $3^2=9 > 4$ et $3 \in \mathbb{Z}$. Donc $P_1$ est vraie. - $P_2$ : Existe-t-il un $x \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $y \in \mathbb{R}$, $x - y > 1$ ? Non, car pour un $x$ fixé, si on prend $y = x - 2$, alors $x - y = 2$ qui est supérieur à 1, mais si on prend $y = x + 10$, alors $x - y = -10 < 1$. Donc $P_2$ est fausse. - $P_3$ : Pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, si $x + y > 2$, alors $x > 1$ ou $y > 1$ ? Vérifions un contre-exemple : Prenons $x = 1.5$, $y = 0.6$, alors $x + y = 2.1 > 2$, et $x > 1$ est vrai, donc la condition est satisfaite. Essayons $x = 0.9$, $y = 1.2$, $x + y = 2.1 > 2$, $y > 1$ est vrai. Essayons $x = 0.8$, $y = 1.3$, pareil. Essayons $x = 0.5$, $y = 1.6$, pareil. Essayons $x = 0.9$, $y = 1.1$, pareil. Essayons $x = 0.5$, $y = 1.4$, pareil. Essayons $x = 0.9$, $y = 1.2$, pareil. Essayons $x = 0.9$, $y = 1.1$, pareil. Essayons $x = 0.9$, $y = 1.0$, $x + y = 1.9 \not> 2$, donc condition non applicable. Il semble que la proposition soit vraie car si $x + y > 2$, au moins un des deux doit être supérieur à 1. **Conclusion :** - $P_1$ est vraie. - $P_2$ est fausse. - $P_3$ est vraie.