1. Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\frac{n(n^2+1)}{2} \in \mathbb{N}$. 2. Utilisons le raisonnement par disjonction des cas : - Si $n$ est pair, alors $n=2k$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$. - Calculons $\frac{n(n^2+1)}{2} = \frac{2k((2k)^2+1)}{2} = k(4k^2+1)$ qui est un entier. - Si $n$ est impair, $n=2k+1$. - Calculons $\frac{n(n^2+1)}{2} = \frac{(2k+1)((2k+1)^2+1)}{2} = \frac{(2k+1)(4k^2+4k+2)}{2} = (2k+1)(2k^2+2k+1)$ qui est un entier. 3. Conclusion : dans tous les cas, $\frac{n(n^2+1)}{2}$ est un entier. 4. Montrons que $(p \Rightarrow (q \Rightarrow r)) \Leftrightarrow ((p \wedge q) \Rightarrow r)$. - Rappel : $p \Rightarrow q$ est équivalent à $\neg p \vee q$. - Développons $p \Rightarrow (q \Rightarrow r)$ : $\neg p \vee (\neg q \vee r) = \neg p \vee \neg q \vee r$. - Développons $(p \wedge q) \Rightarrow r$ : $\neg (p \wedge q) \vee r = (\neg p \vee \neg q) \vee r = \neg p \vee \neg q \vee r$. - Les deux expressions sont identiques, donc équivalentes. 5. Montrons que pour $x,y \in \mathbb{R}^+$, $x + y + 2 = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y} \Rightarrow x = y = 1$. - Posons $a=\sqrt{x}$, $b=\sqrt{y}$, alors $x=a^2$, $y=b^2$. - L'équation devient $a^2 + b^2 + 2 = 2a + 2b$. - Réarrangeons : $a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 = 0$. - Complétons les carrés : $(a-1)^2 + (b-1)^2 = 0$. - Donc $a=1$ et $b=1$, donc $x=1$ et $y=1$. 6. Pour $p$ et $q$ propositions, montrons que : a. $p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$ est une loi logique car $q \Rightarrow p$ est vrai si $p$ est vrai, sinon vrai par implication. b. $p \Rightarrow (p \Rightarrow q)$ est une loi logique car si $p$ est faux, implication vraie, sinon $p \Rightarrow q$ est vrai ou faux selon $q$. c. $(\neg p \Rightarrow q) \Rightarrow p$ n'est pas une proposition tautologique car dépend des valeurs de $p$ et $q$. 7. Pour $P(a,b): a + b + ab + 1 = 0 \Rightarrow (a = -1 \text{ ou } b = -1)$ : 1. Contre-posée : $\neg (a = -1 \text{ ou } b = -1) \Rightarrow \neg (a + b + ab + 1 = 0)$, soit $(a \neq -1 \wedge b \neq -1) \Rightarrow (a + b + ab + 1 \neq 0)$. 2. Négation : $a + b + ab + 1 = 0 \wedge (a \neq -1 \wedge b \neq -1)$. 3. Montrons que $P(a,b)$ est vraie : - Si $a = -1$, alors $a + b + ab + 1 = -1 + b - b + 1 = 0$. - Si $b = -1$, même raisonnement. - Si $a \neq -1$ et $b \neq -1$, alors $a + b + ab + 1 \neq 0$. 8. Pour $P: \forall x \in [0,+\infty[, \forall y \in [1,+\infty[: (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)) \Rightarrow (x=1 \text{ et } y=2)$ : 1. Sans $\Rightarrow$ : $\forall x,y, \neg (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)) \vee (x=1 \wedge y=2)$. 2. Négation : $\exists x,y$ tels que $(\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1)) \wedge (x \neq 1 \text{ ou } y \neq 2)$. 3. Contre-posée : $\neg (x=1 \wedge y=2) \Rightarrow \neg (\sqrt{x} + \sqrt{y} - 1 = \frac{1}{2}(x + y + 1))$. 4. Valeur de vérité : $P$ est vraie car l'équation n'est satisfaite que pour $x=1$ et $y=2$. 9. Divisibilités et sommes : a. $3^{3n+2} + 2^{2n+4}$ divisible par 5 pour tout $n \in \mathbb{N}$. - Montrons par induction. - Cas de base $n=0$: $3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25$, divisible par 5. - Hypothèse d'induction et passage à $n+1$ montrent la divisibilité. b. Même que a mais pour $n \in \mathbb{N}^*$. c. $3$ divise $4n^3 - n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. - Factorisation : $n(4n^2 - 1) = n(2n-1)(2n+1)$. - Parmi trois entiers consécutifs, un est multiple de 3, donc divisible par 3. d. $8$ divise $1 + 5^{n+1} + 2 \times 3^n$ pour $n \in \mathbb{N}$. - Montrons par induction. e. $9$ divise $4^n + 6n - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$. - Par induction. f. $17$ divise $3 \times 5^{2n+1} + 2^{3n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$. - Par induction. g. $\sum_{i=0}^n (2i+1) = (n+1)^2$ pour $n \in \mathbb{N}$. - Somme des nombres impairs. h. $\sum_{i=1}^n i(i+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. - Par induction ou formule sommatoire.