1. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\). Valeur de vérité : Cette proposition est fausse car pour certains \(x,y\) positifs, par exemple \(x = y = 1\), on a \(1 + 1 = 2\) et \(1 \times 1 = 1\), donc \(2 \leq 1\) est faux. 2. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R}^+, \exists y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\). Valeur de vérité : Cette proposition est fausse car pour certains \(x,y\) positifs, par exemple \(x = y = 2\), on a \(2 + 2 = 4\) et \(2 \times 2 = 4\), donc \(4 > 4\) est faux. 3. Énoncé : \(\forall y \in \mathbb{R}^+, \exists x \in \mathbb{R}^+ : \cos(x) = y\). Négation : \(\exists y \in \mathbb{R}^+ : \forall x \in \mathbb{R}^+, \cos(x) \neq y\). Valeur de vérité : Cette proposition est fausse car \(\cos(x)\) prend toutes les valeurs dans \([-1,1]\), donc pour certains \(y > 1\), il n'existe pas \(x\) tel que \(\cos(x) = y\). 4. Énoncé : \(\forall x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 > 0\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 \leq 0\). Valeur de vérité : Cette proposition est vraie car le discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), donc \(x^2 + x + 1 > 0\) pour tout \(x\). 5. Énoncé : \(P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x^2 + y - 2xy = 0\). Négation : \(\exists x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R}, x^2 + y - 2xy \neq 0\). Valeur de vérité : Cette proposition est vraie car pour chaque \(x\), on peut choisir \(y = \frac{x^2}{2x - 1}\) (si \(2x - 1 \neq 0\)) pour satisfaire l'équation. 6. Énoncé : \(Q : \exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R} : \frac{x}{1 + x^2} \leq y\). Négation : \(\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R} : \frac{x}{1 + x^2} > y\). Valeur de vérité : Cette proposition est vraie car la fonction \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\) est bornée et atteint un maximum \(\frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\), donc on peut choisir \(y = \frac{1}{2}\) pour que \(f(x) \leq y\) pour tout \(x\).