1. **Énoncé du problème** : On doit déterminer la valeur de vérité et la négation des propositions suivantes : - $P_1 : (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 + x + 1 = 0$ - $P_2 : \sqrt{3} + \sqrt{2} \leq \sqrt{5} \Rightarrow (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5$ 2. **Analyse de $P_1$** : - L'équation $x^2 + x + 1 = 0$ est une équation quadratique. - Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$. - Comme $\Delta < 0$, il n'existe pas de solution réelle. - Donc, la proposition $P_1$ "il existe un $x$ réel tel que $x^2 + x + 1 = 0$" est **fausse**. 3. **Négation de $P_1$** : - La négation de $\exists x \in \mathbb{R}, P(x)$ est $\forall x \in \mathbb{R}, \neg P(x)$. - Donc, la négation de $P_1$ est : $$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1 \neq 0$$ 4. **Analyse de $P_2$** : - Calculons $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ approximativement : $\approx 1.732 + 1.414 = 3.146$. - Calculons $\sqrt{5} \approx 2.236$. - Donc, $\sqrt{3} + \sqrt{2} \leq \sqrt{5}$ est **fausse** car $3.146 \not\leq 2.236$. - Une implication $A \Rightarrow B$ est vraie sauf si $A$ est vraie et $B$ est fausse. - Ici, $A$ est fausse, donc l'implication est **vraie**. 5. **Négation de $P_2$** : - La négation de $A \Rightarrow B$ est $A \wedge \neg B$. - Donc, la négation de $P_2$ est : $$\sqrt{3} + \sqrt{2} \leq \sqrt{5} \quad \text{et} \quad (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \neq 5$$ **Résumé final :** - $P_1$ est fausse. - Négation de $P_1$ : $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + x + 1 \neq 0$. - $P_2$ est vraie. - Négation de $P_2$ : $\sqrt{3} + \sqrt{2} \leq \sqrt{5}$ et $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \neq 5$.