1. Énoncé du problème : Nous devons analyser six propositions mathématiques impliquant des quantificateurs et des inégalités ou équations. 2. Analyse de chaque proposition : (1) \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y \leq xy\) - Pour tous les réels positifs \(x\) et \(y\), vérifier si \(x + y \leq xy\). - Exemple : pour \(x = y = 2\), \(x + y = 4\) et \(xy = 4\), donc égalité possible. - Pour \(x = y = 1.5\), \(x + y = 3\) et \(xy = 2.25\), donc \(3 \leq 2.25\) est faux. - Conclusion : la proposition (1) est fausse. (2) \(\forall x \in \mathbb{R}^+, \forall y \in \mathbb{R}^+ : x + y > xy\) - Même test : pour \(x = y = 2\), \(4 > 4\) est faux. - Conclusion : la proposition (2) est fausse. (3) \(\forall y \in \mathbb{R}^+, \exists x \in \mathbb{R}^+ : \cos(x) = y\) - La fonction cosinus prend des valeurs dans \([-1,1]\). - Pour \(y > 1\), il n'existe pas de \(x\) tel que \(\cos(x) = y\). - Conclusion : la proposition (3) est fausse. (4) \(\forall x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 > 0\) - Étudions le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0\). - Le polynôme n'a pas de racines réelles, donc il est toujours positif. - Conclusion : la proposition (4) est vraie. (5) \(P : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} : x^2 + y - 2xy = 0\) - Résolvons pour \(y\) : \(x^2 + y - 2xy = 0 \Rightarrow y(1 - 2x) = -x^2\). - Si \(x \neq \frac{1}{2}\), alors \(y = \frac{-x^2}{1 - 2x}\) existe. - Si \(x = \frac{1}{2}\), alors \(x^2 + y - 2xy = \frac{1}{4} + y - y = \frac{1}{4} \neq 0\), pas de \(y\) possible. - Conclusion : la proposition (5) est fausse. (6) \(Q : \exists y \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R} : \frac{x}{1 + x^2} \leq y\) - Étudions la fonction \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\). - Trouvons son maximum : dérivée \(f'(x) = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}\). - \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). - \(f(1) = \frac{1}{2} = 0.5\), \(f(-1) = \frac{-1}{2} = -0.5\). - Le maximum est \(0.5\), donc \(y = 0.5\) convient. - Conclusion : la proposition (6) est vraie. 3. Résumé final : - (1) Faux - (2) Faux - (3) Faux - (4) Vrai - (5) Faux - (6) Vrai 4. Méthode d'examen : - Lire attentivement chaque quantificateur. - Tester des valeurs spécifiques pour valider ou invalider. - Utiliser le discriminant pour les polynômes quadratiques. - Résoudre les équations pour vérifier l'existence des variables. - Étudier les fonctions pour trouver bornes et extrema.