1. Énoncé : \( (\forall x \in \mathbb{R}^+)(\forall y \in \mathbb{R}^+) : x + y \leq xy \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R}^+)(\exists y \in \mathbb{R}^+) : x + y > xy \)\n Valeur de vérité : Faux, car pour certains \(x,y\) positifs, par exemple \(x = y = 1\), \(x + y = 2\) et \(xy = 1\), donc \(2 \leq 1\) est faux.\n 2. Énoncé : \( (\forall x \in \mathbb{R}^+) (\forall y \in \mathbb{R}^+) : x + y > xy \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R}^+) (\exists y \in \mathbb{R}^+) : x + y \leq xy \)\n Valeur de vérité : Faux, car pour \(x = y = 2\), \(x + y = 4\) et \(xy = 4\), donc \(4 > 4\) est faux.\n 3. Énoncé : \( (\forall y \in \mathbb{R}^+) (\exists x \in \mathbb{R}^+) : \cos(x) = y \)\n Négation : \( (\exists y \in \mathbb{R}^+) (\forall x \in \mathbb{R}^+) : \cos(x) \neq y \)\n Valeur de vérité : Faux, car \(\cos(x)\) prend des valeurs dans \([-1,1]\), donc pour certains \(y > 1\), il n'existe pas \(x\) tel que \(\cos(x) = y\).\n 4. Énoncé : \( (\forall x \in \mathbb{R}) : x^2 + x + 1 > 0 \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R}) : x^2 + x + 1 \leq 0 \)\n Valeur de vérité : Vrai, car le discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), donc \(x^2 + x + 1 > 0\) pour tout \(x\).\n 5. Énoncé : \( P : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 + y - 2xy = 0 \)\n Négation : \( (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}) : x^2 + y - 2xy \neq 0 \)\n Valeur de vérité : Vrai, car pour chaque \(x\), on peut trouver \(y = \frac{x^2}{2x - 1}\) (si \(2x - 1 \neq 0\)) qui satisfait l'équation.\n 6. Énoncé : \( Q : (\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) : \frac{x}{1 + x^2} \leq y \)\n Négation : \( (\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R}) : \frac{x}{1 + x^2} > y \)\n Valeur de vérité : Vrai, car la fonction \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\) atteint un maximum \(\frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\) et minimum \(-\frac{1}{2}\), donc on peut choisir \(y = \frac{1}{2}\) qui est une borne supérieure.\n