1. Écrivons les propositions à l'aide des quantificateurs : 1.1. Pour P₁ : « Quel que soit m un entier relatif, il existe au moins un entier naturel n tel que m + n \leq 12 » s'écrit : $$\forall m \in \mathbb{Z}, \exists n \in \mathbb{N}, \; m + n \leq 12$$ 1.2. Pour P₂ : « Pour tout entier naturel n, si n est impair alors n² + 1 est pair » s'écrit : $$\forall n \in \mathbb{N}, \text{ si } n \text{ impair } \Rightarrow n^2 + 1 \text{ est pair}$$ 2. Trouvons la négation des propositions Q₁ et Q₂ : 2.1. Pour Q₁ : $$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0 \text{ ou } x^2 = 0$$ La négation est : « Il existe un réel x tel que ni $$x^2 > 0$$ ni $$x^2 = 0$$ ». Nous écrivons donc: $$\exists x \in \mathbb{R}, \neg (x^2 > 0 \text{ ou } x^2 = 0)$$ ou plus précisément: $$\exists x \in \mathbb{R}, (x^2 \leq 0) \wedge (x^2 \neq 0)$$ ce qui est une contradiction mathématique, mais formellement c'est la négation. 2.2. Pour Q₂ : $$\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \sin(x) \leq 1$$ La négation est : « Il existe un réel x tel que $$\sin(x) < -1$$ ou $$\sin(x) > 1$$ » Soit : $$\exists x \in \mathbb{R}, \sin(x) < -1 \text{ ou } \sin(x) > 1$$ Ce sont les propositions demandées avec leurs négations.