1. **Énoncé du problème :** - Déterminer la valeur de vérité des propositions : - $10^{-3} = 0,001$ et $4;14 = \pi$ - $\exists ! x \in \mathbb{R} \mid 4x^2 - 4x + 1 = 0$ - Donner la négation de la proposition : $$\forall x \in \mathbb{R} \forall a \in \mathbb{R}^+, x^2 \leq a \Rightarrow -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}$$ 2. **Valeur de vérité des propositions :** - Pour $10^{-3} = 0,001$ : $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$ donc cette égalité est vraie. - Pour $4;14 = \pi$ : $4;14$ semble être une notation décimale incorrecte ou une erreur typographique. Si on suppose $4,14$, alors $4,14 \neq \pi \approx 3,1416$, donc cette égalité est fausse. - La conjonction "et" entre une proposition vraie et une fausse est fausse. - Pour $\exists ! x \in \mathbb{R} \mid 4x^2 - 4x + 1 = 0$ : Résolvons l'équation quadratique : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$$ Une racine double existe : $$x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Il existe exactement un $x$ réel solution, donc la proposition est vraie. 3. **Négation de la proposition :** Proposition initiale : $$\forall x \in \mathbb{R} \forall a \in \mathbb{R}^+, x^2 \leq a \Rightarrow -\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}$$ Négation : $$\exists x \in \mathbb{R} \exists a \in \mathbb{R}^+ \text{ tel que } x^2 \leq a \text{ et } (x < -\sqrt{a} \text{ ou } x > \sqrt{a})$$ Cela signifie qu'il existe au moins un $x$ et un $a$ positif pour lesquels $x^2 \leq a$ mais $x$ n'est pas dans l'intervalle $[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$. **Réponses finales :** - La première proposition est fausse. - La deuxième proposition est vraie. - La négation de la troisième proposition est donnée ci-dessus.