📘 analysis

1. נניח כי נתון טור חזקות מהצורה $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$$ עם \(a_n\) מקדמים ו-\(x_0\) נקודת המרכז. 2. נתון כי $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right

1. Montrons que l'équation $e^x = 5x$ admet une solution dans $[0, 2]$. 2. Définissons la fonction $g(x) = e^x - 5x$.

1. Problem: Leiten Sie die Funktionen ab und vereinfachen Sie, wenn möglich. 2. Formel: Für Produkte gilt die Produktregel: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion $g(x) = \ln(x)$. 2. **a) Für welchen $x$-Wert hat $g$ den Funktionswert 3?**

1. **Stating the problem:** We have a sequence of functions defined for $n=1,2,3,\ldots$ as $$f_n(x) = \frac{n^2 x^3}{1 + 2n^{2n^2}}$$ for every real number $x$. We want to find th

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la restriction $f_1$ de la fonction $f$ à l'intervalle $]0; +\infty[$ est une bijection sur un intervalle $J$ à préciser.

1. Problem: Solve or analyze the sequence or series related to the triplet "acb". Since the problem is not explicitly stated, let's assume it involves testing convergence of a seri

1. **بيان مجال تعريف الدالة $f_k(x) = \ln\left(\frac{k}{x^2 + 2x}\right)$** - يجب أن يكون داخل اللوغاريتم موجبًا:

1. **بيان المسألة:** ندرس الدالة $g_n$ المعرفة على المجال $]-1; +\infty[$ حيث $$g_n(x) = \frac{x}{x+1} + n \ln(x+1).$$

1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = 1 + \frac{x-1}{x+1} \ln x$. 2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) :

1. Problemstellung: Wir sollen eine Kurvendiskussion für die Funktion $f(x) = 2x^2 + 3x + 7$ durchführen. 2. Funktion und wichtige Regeln: Die Funktion ist eine quadratische Funkti

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = \ln(1+x) - x$.

1. Énoncé du problème : Vérifier que pour tout $x \in ]0; +\infty]$, on a $$f(x) = -2 \sqrt{\frac{4}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}}$$

1. **Exercice 1 : Étude de la fonction $f(x) = x \operatorname{argth}(x)$** 1. (a) **Domaine de définition $D_f$**

1. **Problem 1:** Find $\limsup_{n\to\infty} \frac{2(-1)^n}{n}$ and $\liminf_{n\to\infty} \frac{2(-1)^n}{n}$. 2. **Problem 2:** Find $\limsup_{n\to\infty} \frac{3(n+1)(-1)^n}{n}$ a

1. **Stating the problem:** We are given inequalities involving logarithms and products, and we want to deduce the limit $$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$$. 2. **Recal

1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ la fonction définie sur $[0; \pi[$ par $g(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0; \pi[$ dans $[0; +\i

1. **Énoncé du problème :** Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $\varphi(x) = \arctan(e^{1-x})$ et dresser son tableau de variation. 2. *

1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية $u_n = n\sqrt{n} = n^{3/2}$ ونريد إثبات أن $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ باستخدام التعريف: $$\forall A > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \f

1. **Тодорхойлолт:** f(x) = \cosh x функцыг (0; \pi) завсарт тэгш болон сонгдгой функц болгон үргэлжлүүлж, Фурьегийн цуваанд задална. 2. **Фурьегийн цувралын үндсэн томъёо:**

1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = \sqrt{x}$$ mit dem Graphen $$K_f$$. Gesucht ist, wie der Graph $$K_m$$ der Funktion $$m(x)$$ aus $$f(x)$$ entsteht und wie