1. נניח כי נתון טור חזקות מהצורה $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$$ עם \(a_n\) מקדמים ו-\(x_0\) נקודת המרכז. 2. נתון כי $$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$$. 3. מטרתנו להוכיח כי רדיוס ההתכנסות \(R\) של הטור הוא $$R = \frac{1}{L}$$ כאשר יש להתייחס גם למקרים המיוחדים \(\frac{1}{\infty} = 0\) ו-\(\frac{1}{0^+} = \infty\). 4. נזכיר את מבחן היחס של רדון (Ratio Test) להתכנסות טורים: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1} (x - x_0)^{n+1}}{a_n (x - x_0)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x - x_0| = L \cdot |x - x_0|. \] 5. לפי מבחן היחס, הטור מתכנס אם ורק אם: \[ L \cdot |x - x_0| < 1 \implies |x - x_0| < \frac{1}{L}. \] 6. לכן, רדיוס ההתכנסות הוא: \[ R = \frac{1}{L}. \] 7. במקרים המיוחדים: - אם \(L = \infty\), אז \(R = \frac{1}{\infty} = 0\), כלומר הטור מתכנס רק בנקודת המרכז. - אם \(L = 0\), אז \(R = \frac{1}{0^+} = \infty\), כלומר הטור מתכנס לכל \(x\). 8. סיכום: הראינו כי רדיוס ההתכנסות של טור החזקות הוא \(R = \frac{1}{L}\) כולל המקרים הקיצוניים. \textbf{תשובה סופית:} $$R = \frac{1}{L}$$ עם \(\frac{1}{\infty} = 0\) ו-\(\frac{1}{0^+} = \infty\).