📘 analysis

1. **Exercice 1:** Soit \( f(x) = \begin{cases} \frac{\sin(ax)}{x}, & x < 0 \\ 1, & x=0 \\ e^{bx} - x, & x > 0 \end{cases} \)

1. Consider the function $g$ defined over $]0; +\infty[$ as $g(x) = x^2 - 2\ln x$. **1) Determine $\lim_{x \to 0} g(x)$ and $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.**

1. Énoncé du problème : Calculer l'infimum et le supremum de la fonction $$f(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ pour $$x \neq 0$$

1. Énoncé du problème : On considère la fonction $f(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x \neq 0$. 2. Trouver $\inf_{x \neq 0} f(x)$ et $\sup_{x \neq 0} f(x)$.

1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Funktionen: $$f(x)=\frac{1}{4}x^2 + x + 3$$

1. Le problème demande de dresser le tableau de variation de la fonction $$f(x)=18\sqrt{x}-6x$$. 2. Pour étudier les variations, calculons la dérivée de $$f$$.

1. **Problem statement:** Given a compact set $K$ in $\mathbb{R}$ disjoint from the interval $I=[0,1]$, and $J$ a minimal closed interval containing both $I$ and $K$. Show for each

1. Énonçons le problème : Trouver un équivalent simple en $a$ des fonctions : $$f(x) = \ln(\cosh x), \quad a=0$$

1. نبدأ بالإجابة عن الجزء الأول من التمرين المتعلق بالدالة $g(x) = x^3 - 3x^2 - 2$. 2. **حل المتراجحة $g'(x) 60; 0$:**

1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = 3 - \frac{9}{4 u_n}$ est décroissante et minorée par $\frac{3}{2}$. En dédui

1. Let's analyze the given problem step-by-step to clarify the notation and expressions. 2. The series given is $$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n c_n \leq 1$$. This means the alternatin

1. **Exercice 5 - Continuité et dérivée nulle** Énoncé : Soit la fonction $$f: [0,1] \to \mathbb{R}$$ définie par