1. **بيان المسألة:** ندرس الدالة $g_n$ المعرفة على المجال $]-1; +\infty[$ حيث $$g_n(x) = \frac{x}{x+1} + n \ln(x+1).$$ 2. **حساب النهايات:** - نحسب $\lim_{x \to -1^+} g_n(x)$: عندما يقترب $x$ من $-1$ من اليمين، $x+1 \to 0^+$، و$\ln(x+1) \to -\infty$. لكن $\frac{x}{x+1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$. لذلك، ندرس الحد بدقة: $$g_n(x) = \frac{x}{x+1} + n \ln(x+1) = \frac{x+1-1}{x+1} + n \ln(x+1) = 1 - \frac{1}{x+1} + n \ln(x+1).$$ عندما $x \to -1^+$، $-\frac{1}{x+1} \to -\infty$ و $n \ln(x+1) \to -\infty$. لكن $-\frac{1}{x+1}$ يهيمن على $n \ln(x+1)$ لأن $\frac{1}{x+1}$ يذهب إلى $+\infty$ أسرع من $\ln(x+1)$. إذاً: $$\lim_{x \to -1^+} g_n(x) = -\infty.$$ - نحسب $\lim_{x \to +\infty} g_n(x)$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} = 1,$$ و $$\lim_{x \to +\infty} n \ln(x+1) = +\infty,$$ إذاً: $$\lim_{x \to +\infty} g_n(x) = +\infty.$$ 3. **دراسة تغير الدالة $g_n$:** نحسب المشتقة: $$g_n'(x) = \frac{(x+1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+1)^2} + n \cdot \frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{n}{x+1} = \frac{1 + n(x+1)}{(x+1)^2}.$$ البسط: $$1 + n(x+1) = 1 + nx + n = n x + (n+1).$$ نجد نقطة الصفر للمشتقة: $$n x + (n+1) = 0 \Rightarrow x = -\frac{n+1}{n} = -1 - \frac{1}{n}.$$ لكن هذه النقطة خارج المجال $]-1; +\infty[$ لأن $-1 - \frac{1}{n} < -1$. لذلك، المشتقة لا تتغير إشارةها في المجال. نختبر إشارة المشتقة عند نقطة داخل المجال، مثلاً $x=0$: $$g_n'(0) = \frac{1 + n(0+1)}{(0+1)^2} = \frac{1 + n}{1} = n+1 > 0.$$ إذاً، $g_n$ دالة متزايدة على $]-1; +\infty[$. 4. **حساب $g_n(0)$:** $$g_n(0) = \frac{0}{0+1} + n \ln(1) = 0 + n \cdot 0 = 0.$$ 5. **استنتاج إشارة $g_n$ على المجال:** - لأن $g_n$ متزايدة و $g_n(0) = 0$، - و $\lim_{x \to -1^+} g_n(x) = -\infty < 0$، - و $\lim_{x \to +\infty} g_n(x) = +\infty$، إذاً: - $g_n(x) < 0$ على $]-1,0[$ - $g_n(x) > 0$ على $]0, +\infty[$ **الجواب النهائي:** $$\lim_{x \to -1^+} g_n(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} g_n(x) = +\infty,$$ الدالة $g_n$ متزايدة على $]-1; +\infty[$، و $$g_n(0) = 0,$$ وبالتالي: $$g_n(x) < 0 \text{ إذا } x \in ]-1,0[, \quad g_n(x) > 0 \text{ إذا } x \in ]0, +\infty[.$$