1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f(x) = 1 + \frac{x-1}{x+1} \ln x$. 2. Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N}) : u_n > 1$. - Calculons $u_1 = f(u_0) = f(0)$. Or, $f$ est définie sur $I = ]0, +\infty[$, donc $u_0=0$ n'est pas dans $I$. Il faut donc vérifier la définition exacte ou considérer la limite à droite. - Supposons que $u_0 > 1$ pour la suite, sinon la question est mal posée. Sinon, on peut montrer que $f(x) > 1$ pour $x > 0$. - En fait, pour $x > 0$, on peut vérifier que $f(x) > 1$ car $\ln x$ est négatif pour $x \in ]0,1[$ et positif pour $x > 1$, et le facteur $\frac{x-1}{x+1}$ change de signe en $x=1$. - Par un raisonnement par récurrence, si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = f(u_n) > 1$. 3. Montrer que $(u_n)$ est décroissante. - Montrons que $f$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. - D'après la partie B, le tableau de variations montre que $f$ est décroissante sur cet intervalle. - Donc, si $u_n > 1$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \leq f(u_{n-1}) = u_n$, donc $(u_n)$ est décroissante. 4. En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. - $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1 (car $u_n > 1$), donc elle converge. - Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell = f(\ell) = 1 + \frac{\ell - 1}{\ell + 1} \ln \ell$$ - Cherchons $\ell$ solution de cette équation. - Si $\ell = 1$, alors $f(1) = 1 + 0 \times \ln 1 = 1$, donc $\ell = 1$ est une solution. - Par unicité de la limite, on a $\boxed{\lim_{n \to +\infty} u_n = 1}$.