1. Problem: Leiten Sie die Funktionen ab und vereinfachen Sie, wenn möglich. 2. Formel: Für Produkte gilt die Produktregel: $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$ Für Potenzen und Logarithmen gilt: $$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$$ und $$\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$$ 3. a) $$f(x) = 3x \cdot \ln(x)$$ Produktregel anwenden: $$f'(x) = 3 \cdot \ln(x) + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \ln(x) + 3$$ 4. b) $$f(x) = x^2 \left(\ln(x) - \frac{1}{2}\right)$$ Produktregel mit $$u = x^2$$ und $$v = \ln(x) - \frac{1}{2}$$: $$u' = 2x$$, $$v' = \frac{1}{x}$$ $$f'(x) = 2x \left(\ln(x) - \frac{1}{2}\right) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) - x + x = 2x \ln(x)$$ 5. c) $$f(x) = \ln(2x)$$ Kettenregel anwenden: $$f'(x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$$ Antworten: a) $$f'(x) = 3 \ln(x) + 3$$ b) $$f'(x) = 2x \ln(x)$$ c) $$f'(x) = \frac{1}{x}$$