1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ la fonction définie sur $[0; \pi[$ par $g(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$. Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0; \pi[$ dans $[0; +\infty[$ et étudier la dérivabilité de sa fonction réciproque $g^{-1}$. 2. **Justification que $g$ est une bijection :** - La fonction $\tan$ est strictement croissante sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right[$ et tend vers $+\infty$ quand son argument tend vers $\frac{\pi}{2}^-$. - Ici, $g(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ avec $x \in [0; \pi[$ donc $\frac{x}{2} \in [0; \frac{\pi}{2}[$. - Ainsi, $g$ est strictement croissante sur $[0; \pi[$ et continue, avec $g(0) = 0$ et $\lim_{x \to \pi^-} g(x) = +\infty$. - Par conséquent, $g$ est une bijection de $[0; \pi[$ sur $[0; +\infty[$. 3. **Dérivabilité de $g^{-1}$ :** - La fonction $g$ est strictement monotone et dérivable sur $[0; \pi[$ avec $$g'(x) = \frac{1}{2} \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) > 0.$$ - Par le théorème de la fonction réciproque, $g^{-1}$ est dérivable sur $[0; +\infty[$ et $$\left(g^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sec^2\left(\frac{g^{-1}(y)}{2}\right)} = 2 \cos^2\left(\frac{g^{-1}(y)}{2}\right).$$ 4. **Interprétation :** - La dérivée de $g^{-1}$ en $y$ est donc $$\boxed{\left(g^{-1}\right)'(y) = 2 \cos^2\left(\frac{g^{-1}(y)}{2}\right)}.$$ Cela conclut la première question.