1. Énoncé du problème : Vérifier que pour tout $x \in ]0; +\infty]$, on a $$f(x) = -2 \sqrt{\frac{4}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}}$$ 2. Rappel de la fonction : $$f(x) = \frac{x}{2} \left( \sqrt{x^2 + 4} - x \right)$$ 3. Développons et simplifions l'expression de $f(x)$ pour $x > 0$ : - On commence par écrire $\sqrt{x^2 + 4}$ comme $x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$ car $x > 0$. - Donc, $$f(x) = \frac{x}{2} \left( x \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - x \right) = \frac{x}{2} \cdot x \left( \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - 1 \right) = \frac{x^2}{2} \left( \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} - 1 \right)$$ 4. Posons $t = \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$ pour simplifier l'écriture. Alors, $$f(x) = \frac{x^2}{2} (t - 1)$$ 5. On utilise l'identité $t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)$, donc $$t - 1 = \frac{t^2 - 1}{t + 1} = \frac{1 + \frac{4}{x^2} - 1}{t + 1} = \frac{\frac{4}{x^2}}{t + 1} = \frac{4}{x^2 (t + 1)}$$ 6. Substituons dans $f(x)$ : $$f(x) = \frac{x^2}{2} \cdot \frac{4}{x^2 (t + 1)} = \frac{4}{2 (t + 1)} = \frac{2}{t + 1}$$ 7. Rappelons que $t = \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$, donc $$f(x) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$ 8. Maintenant, exprimons $f(x)$ sous la forme donnée dans l'énoncé. On remarque que $$-2 \sqrt{\frac{4}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}} = -2 \sqrt{\frac{4}{1 + t}} = -2 \cdot \frac{2}{\sqrt{1 + t}} = -\frac{4}{\sqrt{1 + t}}$$ 9. Cependant, notre expression $f(x) = \frac{2}{1 + t}$ est positive pour $x > 0$, alors que l'expression donnée est négative. Il y a donc une incohérence dans le signe. 10. En fait, la forme donnée dans l'énoncé semble incorrecte ou nécessite une autre interprétation. La forme correcte simplifiée est $$f(x) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$ Ceci conclut la vérification de l'expression de $f(x)$ pour $x > 0$. **Réponse finale :** $$f(x) = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}}$$