1. Problemstellung: Wir sollen eine Kurvendiskussion für die Funktion $f(x) = 2x^2 + 3x + 7$ durchführen. 2. Funktion und wichtige Regeln: Die Funktion ist eine quadratische Funktion der Form $ax^2 + bx + c$ mit $a=2$, $b=3$, $c=7$. Für die Kurvendiskussion untersuchen wir: - Definitionsbereich - Ableitungen (erste und zweite) - Nullstellen - Extremstellen - Wendestellen - Verhalten im Unendlichen 3. Definitionsbereich: Da es sich um ein Polynom handelt, ist der Definitionsbereich $\mathbb{R}$. 4. Erste Ableitung (für Steigung und Extremstellen): $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 7) = 4x + 3$$ 5. Zweite Ableitung (für Krümmung und Wendestellen): $$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x + 3) = 4$$ 6. Nullstellen der Funktion (Lösungen von $f(x)=0$): $$2x^2 + 3x + 7 = 0$$ Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47 < 0$$ Da $\Delta < 0$, hat die Funktion keine reellen Nullstellen. 7. Extremstellen (Lösungen von $f'(x)=0$): $$4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$$ 8. Art des Extremums bestimmen mit $f''(x)$: Da $f''(x) = 4 > 0$, ist die Funktion nach oben geöffnet und $x = -\frac{3}{4}$ ist ein Minimum. 9. Funktionswert an der Extremstelle: $$f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 7 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 7 = \frac{18}{16} - \frac{9}{4} + 7 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 7 = 1.125 - 2.25 + 7 = 5.875$$ 10. Wendestellen: Da $f''(x) = 4$ konstant und ungleich null ist, gibt es keine Wendestellen. 11. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitkoeffizient $a=2 > 0$ ist, geht $f(x) \to +\infty$ für $x \to \pm \infty$. Zusammenfassung: - Definitionsbereich: $\mathbb{R}$ - Keine Nullstellen - Ein Minimum bei $x = -\frac{3}{4}$ mit $f(-\frac{3}{4}) = 5.875$ - Keine Wendestellen - Funktion ist nach oben geöffnet und wächst gegen $+\infty$ für $x \to \pm \infty$