1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = \ln(1+x) - x$. 2. **Étude de la fonction $f$ :** a) Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 = \frac{1 - (1+x)}{1+x} = \frac{-x}{1+x}$$ Comme $x > 0$, on a $f'(x) = \frac{-x}{1+x} < 0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$. b) Limites : $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \ln(1+0) - 0 = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\ln(1+x) - x) = -\infty$$ Tableau de variation : $f$ décroît de $0$ vers $-\infty$ sur $]0,+\infty[$. c) Conclusion : Puisque $f$ est décroissante et $f(0^+) = 0$, pour tout $x > 0$, on a $$f(x) = \ln(1+x) - x < 0 \implies \ln(1+x) < x$$ 3. **Suite $(a_n)$ définie par $a_0 > 0$ et $a_{n+1} = \ln(1 + a_n)$ :** a) Montrons que $a_n > 0$ pour tout $n$ par récurrence : - Initialisation : $a_0 > 0$ par hypothèse. - Hérédité : Supposons $a_n > 0$, alors $a_{n+1} = \ln(1 + a_n)$ avec $1 + a_n > 1$, donc $a_{n+1} > 0$. b) Montrons que $(a_n)$ est strictement décroissante : On a $a_{n+1} = \ln(1 + a_n) < a_n$ car $\ln(1+x) < x$ pour $x > 0$ (d'après 2.c). Donc $(a_n)$ est strictement décroissante. c) Comme $(a_n)$ est strictement décroissante et minorée par $0$, elle est convergente. 4. **Limite $\ell$ de $(a_n)$ :** a) Comme $a_n > 0$ pour tout $n$ et $(a_n)$ converge vers $\ell$, on a $\ell \geq 0$. b) En passant à la limite dans la relation de récurrence : $$\ell = \ln(1 + \ell)$$ Cette équation s'écrit : $$e^{\ell} = 1 + \ell$$ Vérifions $\ell = 0$ : $$e^0 = 1 + 0 = 1$$ Donc $\ell = 0$ est la solution. Comme $f(x) = e^x - 1 - x$ est strictement croissante et nulle en $0$, $0$ est l'unique solution. **Réponse finale :** - Pour tout $x > 0$, $\ln(1+x) < x$. - La suite $(a_n)$ est strictement décroissante, positive et converge vers $0$.