1. **بيان مجال تعريف الدالة $f_k(x) = \ln\left(\frac{k}{x^2 + 2x}\right)$** - يجب أن يكون داخل اللوغاريتم موجبًا: $$\frac{k}{x^2 + 2x} > 0$$ - ندرس الإشارة حسب قيمة $k$: - إذا كان $k > 0$، إذًا: $$x^2 + 2x > 0$$ نحل المعادلة $x^2 + 2x = x(x+2) > 0$. الجذور هي $x=0$ و $x=-2$. الإشارة موجبة عندما يكون $x < -2$ أو $x > 0$. لكن يجب أن يكون المقام موجبًا لكي تكون الكسر موجبًا مع $k>0$. إذن المجال هو: $$D_{f_k} = ]0, +\infty[ $$ - إذا كان $k < 0$، إذًا: $$x^2 + 2x < 0$$ الإشارة سالبة بين الجذور: $$-2 < x < 0$$ إذن: $$D_{f_k} = ]-2, 0[ $$ 2. **دراسة تغيرات الدالة حسب قيم $k$** - الدالة معرفة فقط في المجالات السابقة حسب إشارة $k$. - نشتق الدالة: $$f_k'(x) = \frac{d}{dx} \ln\left(\frac{k}{x^2 + 2x}\right) = \frac{d}{dx} \left(-\ln(x^2 + 2x) + \ln k\right) = -\frac{2x + 2}{x^2 + 2x}$$ - ندرس إشارة المشتقة: $$f_k'(x) = -\frac{2(x+1)}{x(x+2)}$$ - تحليل الإشارة حسب $k$: - إذا $k > 0$ و $x \in ]0, +\infty[$: - المقام $x(x+2) > 0$ لأن $x > 0$ و $x+2 > 0$. - إشارة المشتقة تعتمد على $-(x+1)$. - إذا $x > -1$، $x+1 > 0$، إذن $f_k'(x) < 0$. - إذا $0 < x < -1$ غير ممكن لأن $-1 < 0$. إذن المشتقة سالبة في المجال، الدالة تناقصية في $]0, +\infty[$. - إذا $k < 0$ و $x \in ]-2, 0[$: - المقام $x(x+2) < 0$ لأن $x < 0$ و $x+2 > 0$. - إشارة المشتقة تعتمد على $-(x+1)$. - إذا $x < -1$، $x+1 < 0$، إذن $-(x+1) > 0$. - إشارة المشتقة: $$f_k'(x) = \frac{\text{موجب}}{\text{سالب}} = \text{سالب}$$ - إذا $-1 < x < 0$، $x+1 > 0$، إذن $-(x+1) < 0$. - إشارة المشتقة: $$f_k'(x) = \frac{\text{سالب}}{\text{سالب}} = \text{موجب}$$ - إذن الدالة تناقصية في $]-2, -1[$ وتزايدية في $]-1, 0[$. 3. **عدد حلول المعادلة $f_k(x) = 0$ حسب $k$** - المعادلة: $$\ln\left(\frac{k}{x^2 + 2x}\right) = 0 \Rightarrow \frac{k}{x^2 + 2x} = 1$$ $$k = x^2 + 2x$$ - نحل المعادلة التربيعية: $$x^2 + 2x - k = 0$$ - المميز: $$\Delta = 4 + 4k = 4(k+1)$$ - عدد الحلول حسب $k$: - إذا $k > -1$، يوجد حلان حقيقيان: $$x = -1 \pm \sqrt{k+1}$$ - إذا $k = -1$، حل واحد: $$x = -1$$ - إذا $k < -1$، لا يوجد حلول حقيقية. - لكن يجب أن تكون الحلول ضمن مجال تعريف الدالة حسب $k$: - إذا $k > 0$, المجال $]0, +\infty[$، نأخذ الحلول الموجبة فقط. - إذا $k < 0$, المجال $]-2, 0[$، نأخذ الحلول ضمن هذا المجال. 4. **برهان أن المستقيم $x = -1$ هو محور تماثل المنحنى $C_k$** - ندرس: $$f_k(-1 - h) = \ln\left(\frac{k}{(-1 - h)^2 + 2(-1 - h)}\right) = \ln\left(\frac{k}{1 + 2h + h^2 - 2 - 2h}\right) = \ln\left(\frac{k}{h^2 -1}\right)$$ $$f_k(-1 + h) = \ln\left(\frac{k}{(-1 + h)^2 + 2(-1 + h)}\right) = \ln\left(\frac{k}{1 - 2h + h^2 - 2 + 2h}\right) = \ln\left(\frac{k}{h^2 -1}\right)$$ - إذن: $$f_k(-1 - h) = f_k(-1 + h)$$ - هذا يثبت أن $x = -1$ هو محور تماثل للمنحنى $C_k$. **النتيجة النهائية:** - مجال تعريف $f_k$ يعتمد على إشارة $k$ كما في النقطة 1. - الدالة تناقصية أو متزايدة حسب المجال وقيمة $k$ كما في النقطة 2. - عدد حلول المعادلة $f_k(x) = 0$ يعتمد على $k$ كما في النقطة 3. - المستقيم $x = -1$ هو محور تماثل المنحنى $C_k$ كما في النقطة 4.