1. **Тодорхойлолт:** f(x) = \cosh x функцыг (0; \pi) завсарт тэгш болон сонгдгой функц болгон үргэлжлүүлж, Фурьегийн цуваанд задална. 2. **Фурьегийн цувралын үндсэн томъёо:** Фурьегийн цуврал нь тэгш функцийн хувьд зөвхөн косинусын гишүүнүүдээс бүрдэнэ. Тэгш функцийн Фурьегийн цувралын томъёо: $$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right)$$ энд $L=\pi$ байна. 3. **Коэффициентүүдийг олох:** $$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{\pi}\right) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \cosh x \cos(nx) \, dx$$ 4. **a_0-г тооцоолох:** $$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \cosh x \, dx = \frac{2}{\pi} [\sinh x]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \sinh \pi$$ 5. **a_n-г тооцоолох:** Интегралыг бодохын тулд интегралын томъёо ашиглана: $$\int \cosh x \cos(nx) dx = \frac{\cosh x \sin(nx)}{n} + \frac{n \sinh x \cos(nx)}{n^2 + 1} + C$$ Гэхдээ бид хязгаарлагдмал интеграл бодох тул шууд интегралын томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой. 6. **a_n-г бодох:** $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \cosh x \cos(nx) dx$$ \cosh x-г экспонентын хэлбэрээр бичнэ: $$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$ Тэгэхээр: $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{e^x + e^{-x}}{2} \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (e^x + e^{-x}) \cos(nx) dx$$ 7. **Интегралыг тус тусад нь бодно:** $$I_1 = \int_0^{\pi} e^x \cos(nx) dx, \quad I_2 = \int_0^{\pi} e^{-x} \cos(nx) dx$$ 8. **Интеграл I_1 бодох:** Интегралын томъёо ашиглана: $$\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax} (a \cos(bx) + b \sin(bx))}{a^2 + b^2} + C$$ энд $a=1$, $b=n$ байна. Тэгэхээр: $$I_1 = \left[ \frac{e^x (\cos(nx) + n \sin(nx))}{1 + n^2} \right]_0^{\pi} = \frac{e^{\pi} (\cos(n\pi) + n \sin(n\pi)) - (\cos 0 + n \sin 0)}{1 + n^2}$$ $\sin(n\pi) = 0$, $\cos(n\pi) = (-1)^n$, $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$ тул: $$I_1 = \frac{e^{\pi} (-1)^n - 1}{1 + n^2}$$ 9. **Интеграл I_2 бодох:** $a = -1$, $b = n$ тул: $$I_2 = \left[ \frac{e^{-x} (-\cos(nx) + n \sin(nx))}{1 + n^2} \right]_0^{\pi} = \frac{e^{-\pi} (-\cos(n\pi) + n \sin(n\pi)) - (-\cos 0 + n \sin 0)}{1 + n^2}$$ Дээрх тригонометрийн утгуудыг орлуулбал: $$I_2 = \frac{e^{-\pi} (-(-1)^n) - (-1)}{1 + n^2} = \frac{e^{-\pi} (-1)^{n+1} + 1}{1 + n^2}$$ 10. **a_n-г эцэслэн бичих:** $$a_n = \frac{1}{\pi} (I_1 + I_2) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{e^{\pi} (-1)^n - 1}{1 + n^2} + \frac{e^{-\pi} (-1)^{n+1} + 1}{1 + n^2} \right) = \frac{1}{\pi (1 + n^2)} \left( e^{\pi} (-1)^n - 1 + e^{-\pi} (-1)^{n+1} + 1 \right)$$ Тэгэхээр: $$a_n = \frac{1}{\pi (1 + n^2)} \left( (-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi}) \right) = \frac{(-1)^n 2 \sinh \pi}{\pi (1 + n^2)}$$ 11. **Фурьегийн цувралын эцсийн илэрхийлэл:** $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) = \frac{\sinh \pi}{\pi} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (-1)^n \sinh \pi}{\pi (1 + n^2)} \cos(nx)$$ 12. **Тайлбар:** Энэ цуврал нь (0; \pi) завсарт тодорхойлогдсон \cosh x функцыг тэгш функц болгон үргэлжлүүлж, Фурьегийн косинусын цувралаар илэрхийлсэн байна. --- **Хариу:** $$f(x) = \frac{\sinh \pi}{\pi} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (-1)^n \sinh \pi}{\pi (1 + n^2)} \cos(nx)$$