1. **Énoncé du problème :** Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $\varphi(x) = \arctan(e^{1-x})$ et dresser son tableau de variation. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier les variations d'une fonction, on calcule sa dérivée et on étudie son signe. 3. **Calcul de la dérivée :** $$\varphi'(x) = \frac{d}{dx} \arctan(e^{1-x}) = \frac{1}{1 + (e^{1-x})^2} \cdot \frac{d}{dx} e^{1-x} = \frac{1}{1 + e^{2(1-x)}} \cdot (-e^{1-x}) = -\frac{e^{1-x}}{1 + e^{2(1-x)}}$$ 4. **Étude du signe de $\varphi'(x)$ :** - Le numérateur $-e^{1-x}$ est toujours négatif car $e^{1-x} > 0$ pour tout $x$. - Le dénominateur $1 + e^{2(1-x)}$ est toujours positif. Donc, $\varphi'(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^+$. 5. **Conclusion sur les variations :** La fonction $\varphi$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^+$. 6. **Calcul des limites :** - Quand $x \to 0^+$, $e^{1-x} \to e^{1} > 0$, donc $\varphi(0) = \arctan(e^{1})$. - Quand $x \to +\infty$, $e^{1-x} \to 0$, donc $\varphi(+\infty) = \arctan(0) = 0$. 7. **Tableau de variation :** $$\begin{array}{c|cc} x & 0 & +\infty \\\hline \varphi(x) & \arctan(e) & 0 \\\text{sens de variation} & \searrow & \\\end{array}$$ **Réponse finale :** La fonction $\varphi$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^+$, allant de $\arctan(e)$ à $0$.