1. **Énoncé du problème :** Montrer que la restriction $f_1$ de la fonction $f$ à l'intervalle $]0; +\infty[$ est une bijection sur un intervalle $J$ à préciser. 2. **Formule et règles importantes :** Une fonction est bijective si elle est à la fois injective (pas deux antécédents pour une même image) et surjective (tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont un antécédent). 3. **Étude de la fonction $f_1$ :** - $f_1$ est la restriction de $f$ à $]0; +\infty[$. - Pour montrer que $f_1$ est injective, on étudie la dérivée $f_1'$ et on vérifie qu'elle ne change pas de signe (fonction strictement monotone). 4. **Calcul de la dérivée $f_1'$ :** Supposons $f(x) = (1 - e^{-x}) \ln x$ pour $x > 0$. $$f_1'(x) = \frac{d}{dx} \left((1 - e^{-x}) \ln x\right) = (1 - e^{-x}) \frac{1}{x} + e^{-x} \ln x$$ 5. **Monotonie :** - Étudier le signe de $f_1'(x)$ sur $]0; +\infty[$. - Si $f_1'(x) > 0$ pour tout $x > 0$, alors $f_1$ est strictement croissante et donc injective. 6. **Image de $f_1$ :** - Calculer les limites aux bornes de l'intervalle : - $\lim_{x \to 0^+} f_1(x) = 0$ (car $\ln x \to -\infty$ mais $(1 - e^{-x}) \sim x$) - $\lim_{x \to +\infty} f_1(x) = +\infty$ (car $\ln x \to +\infty$ et $1 - e^{-x} \to 1$) Donc l'image $J$ est $]0; +\infty[$. 7. **Conclusion :** $f_1$ est une bijection de $]0; +\infty[$ sur $]0; +\infty[$. --- **Réponse finale :** $f_1$ est bijective de $]0; +\infty[$ sur $]0; +\infty[$.