1. **بيان المسألة:** لدينا المتتالية $u_n = n\sqrt{n} = n^{3/2}$ ونريد إثبات أن $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ باستخدام التعريف: $$\forall A > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n > A.$$ 2. **شرح التعريف:** هذا يعني أنه لأي عدد موجب $A$ نختاره، يمكننا إيجاد رقم طبيعي $N$ بحيث تكون كل حدود المتتالية من المرتبة $N$ فما فوق أكبر من $A$. 3. **تطبيق التعريف على $u_n = n^{3/2}$:** نريد إيجاد $N$ بحيث $$n^{3/2} > A \quad \text{لـ} n \geq N.$$ 4. **حل المتباينة:** $$n^{3/2} > A \implies n > A^{2/3}.$$ 5. **اختيار $N$:** نأخذ $$N = \lceil A^{2/3} \rceil,$$ حيث $\lceil x \rceil$ هو التقريب للأعلى للعدد $x$. 6. **الاستنتاج:** لكل $A > 0$، إذا كان $n \geq N$ فإن $$u_n = n^{3/2} > A,$$ وبالتالي $$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.$$ --- **حل المسائل الأخرى (أول مسألة فقط حسب تعليمات الضيف):** - عدد الأسئلة في الرسالة: 4 (حسب الفقرات المختلفة).