1. **Exercice 1 : Étude de la fonction $f(x) = x \operatorname{argth}(x)$** 1. (a) **Domaine de définition $D_f$** La fonction $\operatorname{argth}(x)$ est définie pour $x \in (-1,1)$. Donc, $D_f = (-1,1)$. 1. (b) **Parité de $f$** Rappel : $\operatorname{argth}(-x) = -\operatorname{argth}(x)$ car $\operatorname{argth}$ est une fonction impaire. Donc, $$f(-x) = (-x) \operatorname{argth}(-x) = (-x)(-\operatorname{argth}(x)) = x \operatorname{argth}(x) = f(x).$$ Ainsi, $f$ est une fonction paire. 1. (c) **Domaine de dérivabilité et dérivée $f'$** $f$ est dérivable sur $(-1,1)$ car $x$ et $\operatorname{argth}(x)$ sont dérivables sur cet intervalle. Calcul de $f'(x)$ : $$f'(x) = \operatorname{argth}(x) + x \cdot \frac{1}{1 - x^2} = \operatorname{argth}(x) + \frac{x}{1 - x^2}.$$ 2. **Tableau de variation de $f'$ sur $[0,1[$** Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0,1[$. $\operatorname{argth}(x) > 0$ pour $x > 0$. $\frac{x}{1 - x^2} > 0$ pour $x \in (0,1)$. Donc, $f'(x) > 0$ sur $]0,1[$. 3. **Conclusion sur le signe de $f'(x)$** Pour tout $x \in [0,1[$, $f'(x) \geq 0$. 4. **Tableau de variation de $f$ sur $(-1,1)$** $f$ est paire et $f'(x) > 0$ sur $]0,1[$ donc $f$ est croissante sur $[0,1[$. Par symétrie, $f$ est décroissante sur $]-1,0]$. 5. **Solutions de l'équation $f(x) = 1$** Comme $f$ est continue, croissante sur $[0,1[$, et $f(0) = 0$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$, il existe une unique solution positive. Par parité, il existe aussi une solution négative symétrique. Donc, exactement deux solutions. --- 6. **Exercice 2 : Étude de la suite $(U_n)$ définie par $U_0=3$ et $U_{n+1} = \frac{4U_n - 2}{U_n + 1}$** 1. Étude de la fonction $f(x) = \frac{4x - 2}{x + 1}$ Domaine : $x \neq -1$. Dérivée : $$f'(x) = \frac{(4)(x+1) - (4x - 2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{4x + 4 - 4x + 2}{(x+1)^2} = \frac{6}{(x+1)^2} > 0.$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $(-\infty, -1)$ et $(-1, +\infty)$. 2. (a) Montrer que $[2, +\infty[$ est stable par $f$ : Pour $x \geq 2$, $$f(x) = \frac{4x - 2}{x + 1} \geq 2 \iff 4x - 2 \geq 2(x + 1) \iff 4x - 2 \geq 2x + 2 \iff 2x \geq 4 \iff x \geq 2,$$ donc $f(x) \geq 2$. (b) La suite $(U_n)$ est bien définie car $U_0=3 \in [2,+\infty[$ et $f$ conserve cet intervalle. (c) Montrer que $U_n > 2$ pour tout $n$ par récurrence. 3. (a) Montrer que $(U_n)$ est décroissante : Comme $f$ est croissante et $U_{n+1} = f(U_n)$, il suffit de montrer $U_{n+1} \leq U_n$. Vérifions pour $n=0$ : $$U_1 = f(U_0) = f(3) = \frac{12 - 2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 < 3 = U_0.$$ Supposons $U_n > U_{n+1}$, alors par croissance de $f$, $$U_{n+1} = f(U_n) > f(U_{n+1}) = U_{n+2},$$ donc décroissante. (b) La suite est décroissante et minorée par 2, donc convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} U_n$, alors $$\ell = f(\ell) = \frac{4\ell - 2}{\ell + 1}.$$ Résolvons : $$\ell(\ell + 1) = 4\ell - 2 \Rightarrow \ell^2 + \ell = 4\ell - 2 \Rightarrow \ell^2 - 3\ell + 2 = 0.$$ Solutions : $$\ell = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}.$$ Donc $\ell = 1$ ou $\ell = 2$. Comme $U_n > 2$ pour tout $n$, la limite est $\ell = 2$.