1. Calculer $\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{1 + \sqrt{4x - x^2}}$. Substituons $x=2$ directement : le numérateur est $2-2=0$ et le dénominateur est $1 + \sqrt{8 - 4} = 1 + \sqrt{4} = 3$. Donc la limite est $\frac{0}{3} = 0$. 2. Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{-x + 2 + x\sqrt{\frac{3}{x} - 2}}{1 - x^3}$. Substituons $x=1$ : numérateur $-1 + 2 + 1 \times \sqrt{3 - 2} = 1 + 1 = 2$, dénominateur $1 - 1 = 0$. Forme indéterminée. Factorisons le dénominateur : $1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$. Posons $f(x) = -x + 2 + x\sqrt{\frac{3}{x} - 2}$. Calculons la limite en utilisant la règle de l'Hôpital : Dérivée du numérateur : $f'(x) = -1 + \sqrt{\frac{3}{x} - 2} + x \times \frac{d}{dx} \sqrt{\frac{3}{x} - 2}$. Calculons $\frac{d}{dx} \sqrt{\frac{3}{x} - 2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{x} - 2}} \times \left(-\frac{3}{x^2}\right) = -\frac{3}{2x^2 \sqrt{\frac{3}{x} - 2}}$. Donc $f'(x) = -1 + \sqrt{\frac{3}{x} - 2} - \frac{3}{2x \sqrt{\frac{3}{x} - 2}}$. En $x=1$, $\sqrt{3 - 2} = 1$, donc $f'(1) = -1 + 1 - \frac{3}{2 \times 1 \times 1} = -\frac{3}{2} = -1.5$. Dérivée du dénominateur $g(x) = 1 - x^3$, $g'(x) = -3x^2$, donc $g'(1) = -3$. La limite est donc $\frac{f'(1)}{g'(1)} = \frac{-1.5}{-3} = 0.5$. 3. Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{1 + 4x - \sqrt{4x^2 + x}}{x - 2}$. Substituons $x=1$ : numérateur $1 + 4 - \sqrt{4 + 1} = 5 - \sqrt{5}$, dénominateur $1 - 2 = -1$. Donc la limite est $\frac{5 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 5$. 4. Calculer $\lim_{x \to 1} \left( 2 \sqrt{x-1} - 3(1 - \sqrt{x}) \right)$. En $x=1$, $\sqrt{0} = 0$, donc l'expression devient $0 - 3(1 - 1) = 0$. Pour $x \to 1^+$, $\sqrt{x-1} \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 1$, donc la limite est $0$. 5. Calculer $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3x + 1} - x + 4}{\sqrt{8x^3 - x - \sqrt{4x^3 + 2x}}}$. Substituons $x=-1$ : numérateur $\sqrt{-3 + 1} + 1 + 4 = \sqrt{-2} + 5$ non défini dans les réels. Donc la limite n'existe pas dans $\mathbb{R}$. 6. Calculer $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{1 + x + x^2} - \sqrt{1 + x + x^2}}{x} \cdot \lim_{x \to 2} \left( \frac{1 + x^2 + \sqrt{4 + x^2}}{x} \cdot \lim_{x \to 2} \left( \frac{1 + x + x^2}{x} \right)\right)$. Le premier terme est $\frac{A - A}{x} = 0$ pour $A = \sqrt{1 + x + x^2}$. Donc le produit est $0$. --- Réponses finales : 1. $0$ 2. $\frac{1}{2}$ 3. $\sqrt{5} - 5$ 4. $0$ 5. Limite non définie dans $\mathbb{R}$ 6. $0$