1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}, \quad x \in [1, +\infty[,$$ et $$f(x) = x + 1, \quad x \in ]-\infty, 0] \cup ]0, 1[.$$ Déterminer le domaine $D_f$, la continuité et la dérivabilité en $x_0=1$. 2. Étudier les équations des demi-tangentes à la courbe $(C_f)$ en $x_0=1$, interprétation géométrique, et étudier les variations de $f$ (limites, tableau de variation). 3. Pour la restriction $g$ de $f$ sur $[-1, +\infty[$ : a) Montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ définie sur $]-\infty, 1]$. b) Étudier la dérivabilité de $g^{-1}$. c) Calculer $g'(4)$ et déterminer $g^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$. --- 1. **Domaine $D_f$ :** - Pour $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$, on a $x \geq 1$ (car racine carrée définie et dénominateur non nul). - Pour $f(x) = x+1$, $x \in ]-\infty, 0] \cup ]0,1[$. Donc, $$D_f = ]-\infty, 1[ \cup [1, +\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ mais on doit vérifier la définition en $x=1$. **Continuité en $x=1$ :** - Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$. - Valeur en $1$ : $f(1) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$. - Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. La limite à gauche est différente de la valeur et de la limite à droite, donc $f$ n'est pas continue en $x=1$. **Dérivabilité en $x=1$ :** La dérivabilité implique la continuité, donc $f$ n'est pas dérivable en $1$. --- 2. **Demi-tangentes en $x=1$ :** - À gauche ($x<1$), $f(x) = x+1$, dérivée $f'(x) = 1$. - À droite ($x>1$), $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Calcul de $f'(x)$ pour $x>1$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} \right) = \frac{(x+1)^{1/2} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} (x+1)^{-1/2}}{x+1}$$ Simplification donne : $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x}}{2 (x+1)^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x+1)^{3/2}}$$ En $x=1$ : $$f'(1^+) = \frac{1}{2 \cdot 1 \cdot (2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \approx 0.177$$ **Équations des demi-tangentes :** - À gauche : $y = f(1) + f'(1^-)(x-1) = 2 + 1 \cdot (x-1) = x + 1$. - À droite : $y = f(1) + f'(1^+)(x-1) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4 \sqrt{2}} (x-1)$. **Interprétation géométrique :** La courbe a un point anguleux en $x=1$ avec deux tangentes distinctes. **Variations et limites :** - Pour $x<1$, $f(x) = x+1$ est strictement croissante. - Pour $x>1$, étudier le signe de $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x+1)^{3/2}} > 0$$ Donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$. Limites : - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty + 1 = -\infty$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} = 1$. --- 3. **Fonction $g$ restriction de $f$ sur $[-1, +\infty[$ :** a) Montrer que $g$ admet une réciproque $g^{-1}$ définie sur $]-\infty, 1]$. - Sur $[-1,0]$, $g(x) = x+1$ est strictement croissante de $0$ à $1$. - Sur $[1, +\infty[$, $g(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$ décroît vers $1$ quand $x \to +\infty$. Mais attention, sur $[1,+\infty[$, $g$ est croissante vers $1$ (voir dérivée positive), donc image de $g$ sur $[-1,+\infty[$ est $[0,1]$. Donc $g$ est strictement croissante sur $[-1,+\infty[$, donc bijective sur son image $[0,1]$. Par conséquent, $g^{-1}$ est définie sur $[0,1]$ (et donc sur $]-\infty,1]$ si on étend par continuité). b) **Dérivabilité de $g^{-1}$ :** Par la formule de dérivation de la fonction inverse : $$\left(g^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}$$ Comme $g'(x) > 0$ sur $[-1,+\infty[$, $g^{-1}$ est dérivable sur $]0,1[$. c) **Calcul de $g'(4)$ et $g^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ :** Pour $x=4 \geq 1$, $$g'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x+1)^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 5^{3/2}} = \frac{1}{4 \cdot 5 \sqrt{5}} = \frac{1}{20 \sqrt{5}}.$$ Pour $g^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$, $\frac{3}{2} = 1.5$ n'appartient pas à l'image $[0,1]$ de $g$, donc $g^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ n'existe pas. --- **Résumé final :** - $D_f = ]-\infty, 1[ \cup [1, +\infty[$. - $f$ n'est pas continue ni dérivable en $x=1$. - Deux demi-tangentes distinctes en $x=1$. - $f$ est croissante sur chaque intervalle de définition. - $g$ est bijective sur $[0,1]$ avec inverse dérivable. - $g'(4) = \frac{1}{20 \sqrt{5}}$. - $g^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$ n'existe pas.