1. **Énoncé du problème :** On étudie la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}$. 2. **Justification de l'ensemble de définition $D_f$ :** La fonction $f$ est définie si et seulement si l'expression sous la racine carrée est positive ou nulle : $$x^2 + 1 \geq 0$$ Cette inégalité est toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $x^2 \geq 0$ et $1 > 0$. Cependant, la question précise $D_f = [-1; +\infty[$, ce qui semble être une restriction donnée dans l'énoncé. 3. **Calcul des limites :** - Limite en $x \to -1$ : $$f(-1) = -1 - 1 + \sqrt{(-1)^2 + 1} = -2 + \sqrt{1 + 1} = -2 + \sqrt{2}$$ Donc $$\lim_{x \to -1} f(x) = -2 + \sqrt{2}$$ - Limite en $x \to +\infty$ : On étudie $$\lim_{x \to +\infty} \left(x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}\right)$$ On peut écrire $$\sqrt{x^2 + 1} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$$ car $x > 0$ pour $x \to +\infty$. Donc $$f(x) = x - 1 + x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x - 1 + x \left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) = x - 1 + x + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$ $$= 2x - 1 + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 4. **Étude de la monotonie de $f$ sur $D_f$ :** Calculons la dérivée : $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ Pour $x \geq -1$, on étudie le signe de $f'(x)$ : - $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ est croissant et vaut environ $-\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$ en $x=-1$. Donc $$f'(-1) = 1 - 0.707 > 0$$ Pour $x \to +\infty$, $f'(x) \to 1 + 1 = 2 > 0$. Donc $f'(x) > 0$ sur $[-1, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$. 5. **Continuité de $f$ sur $D_f$ :** La fonction $f$ est composée de fonctions continues (polynôme et racine carrée de $x^2 + 1$ qui est toujours positive), donc $f$ est continue sur $D_f$. 6. **Convexité de $f$ sur $D_f$ :** Calculons la dérivée seconde : $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)$$ Posons $$g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ Alors $$g'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{\frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}} > 0$$ Donc $$f''(x) = g'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}} > 0$$ pour tout $x \in D_f$. Donc $f$ est convexe sur $D_f$. --- **Résumé :** - $D_f = [-1, +\infty[$ - $\lim_{x \to -1} f(x) = -2 + \sqrt{2}$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $f$ est strictement croissante sur $D_f$ - $f$ est continue sur $D_f$ - $f$ est convexe sur $D_f$