1. Énoncé du problème : Déterminer pour chaque ensemble A1 à A7 s'il s'agit d'un intervalle ou non. 2. Définition d'un intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels tel que pour tous $x, y$ dans l'ensemble, tout $z$ entre $x$ et $y$ appartient aussi à l'ensemble. 3. Analyse de chaque ensemble : - $A1 = ]2, 3[$ est un intervalle ouvert entre 2 et 3. - $A2 = [1, \sqrt{2}] \cap \mathbb{Q}$ est l'intersection d'un intervalle fermé et des rationnels, donc ce n'est pas un intervalle car il manque les irrationnels entre 1 et $\sqrt{2}$. - $A3 = \left\{ -1 + \frac{2n}{3+n}, n \in \mathbb{N}^* \right\}$ est un ensemble dénombrable de points, donc pas un intervalle. - $A4 = \left\{ (-1)^n + \frac{3}{5n}, n \in \mathbb{N}^* \right\}$ est aussi un ensemble dénombrable de points, donc pas un intervalle. - $A5 = \{ x - \lfloor x \rfloor, x \in [3,7] \}$ est l'ensemble des parties fractionnaires des nombres entre 3 et 7, donc $A5 = [0,1[$, un intervalle semi-ouvert. - $A6 = \left\{ x \in \mathbb{R} : \frac{1}{x^2 + 1} > \frac{1}{2} \right\}$ équivaut à $x^2 + 1 < 2$ donc $x^2 < 1$ donc $x \in ]-1,1[$, un intervalle ouvert. - $A7$ est incomplet dans l'énoncé, donc on ne peut pas conclure. 4. Conclusion : - Intervalles : $A1$, $A5$, $A6$. - Non intervalles : $A2$, $A3$, $A4$. - $A7$ non déterminé. 5. Pour la question sur le supremum, infimum, maximum et minimum : - $A1 = ]2,3[$ : infimum = 2 (non atteint), supremum = 3 (non atteint), pas de minimum ni maximum. - $A2 = [1, \sqrt{2}] \cap \mathbb{Q}$ : infimum = 1 (atteint), minimum = 1, supremum = $\sqrt{2}$ (non rationnel, non atteint), pas de maximum. - $A3$ : ensemble dénombrable, on peut calculer les bornes en étudiant la limite de $-1 + \frac{2n}{3+n}$ quand $n \to \infty$. - $A4$ : ensemble dénombrable oscillant, bornes à étudier selon la limite des termes. - $A5 = [0,1[$ : infimum = 0 (atteint), minimum = 0, supremum = 1 (non atteint), pas de maximum. - $A6 = ]-1,1[$ : infimum = -1 (non atteint), supremum = 1 (non atteint), pas de minimum ni maximum. - $A7$ non déterminé.