1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1} - x$$ et sa courbe représentative $(C)$. 2. **Limites et asymptotes :** a) Calcul de $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $$f(x) \approx \frac{2 \times 0}{0 + 1} - x = -x.$$ Ainsi, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ mais la différence $$f(x) + x = \frac{2e^x}{e^x + 1} \to 0,$$ ce qui montre que la droite $(d): y = -x$ est une asymptote oblique à gauche. b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : Quand $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$, donc $$f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1} - x = \frac{2e^x}{e^x(1 + e^{-x})} - x = \frac{2}{1 + e^{-x}} - x.$$ Comme $e^{-x} \to 0$, $$f(x) \approx 2 - x,$$ donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ et $$f(x) + x - 2 = \frac{2e^x}{e^x + 1} - x + x - 2 = \frac{2e^x}{e^x + 1} - 2 \to 0,$$ ce qui montre que la droite $(d'): y = -x + 2$ est une asymptote oblique à droite. c) Montrons que $(C)$ est entre $(d)$ et $(d')$ : On a $$f(x) + x = \frac{2e^x}{e^x + 1} > 0,$$ donc $$f(x) > -x,$$ et $$f(x) + x - 2 = \frac{2e^x}{e^x + 1} - 2 = \frac{2e^x - 2(e^x + 1)}{e^x + 1} = \frac{-2}{e^x + 1} < 0,$$ donc $$f(x) < -x + 2.$$ Ainsi, la courbe $(C)$ est strictement entre les droites $(d)$ et $(d')$. 3. **Symétrie :** Montrons que $W(0;1)$ est centre de symétrie de $(C)$. Calculons $$f(-x) = \frac{2e^{-x}}{e^{-x} + 1} - (-x) = \frac{2}{1 + e^x} + x,$$ donc $$f(x) + f(-x) = \left(\frac{2e^x}{e^x + 1} - x\right) + \left(\frac{2}{1 + e^x} + x\right) = \frac{2e^x + 2}{e^x + 1} = 2.$$ Or, $2 = 2 \times 1$, donc $$f(x) + f(-x) = 2,$$ ce qui signifie que la courbe est symétrique par rapport au point $W(0;1)$. 4. **Dérivée et variations :** Calcul de $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2e^x}{e^x + 1} - x \right) = \frac{2e^x(e^x + 1) - 2e^x e^x}{(e^x + 1)^2} - 1 = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} - 1.$$ Montrons que $-1 < f'(x) < 0$ : Puisque $e^x > 0$, $$0 < \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} < 1,$$ donc $$-1 < f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} - 1 < 0.$$ La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. 5. **Racine unique de $f(x) = 0$ :** Comme $f$ est continue et strictement décroissante, et $$f(0) = \frac{2}{1} - 0 = 2 > 0,$$ $$f(2) = \frac{2e^2}{e^2 + 1} - 2 < 0,$$ il existe une unique racine $\alpha \in (1.6, 1.7)$ par le théorème des valeurs intermédiaires. 6. **Inégalité sur $[0; \alpha]$ :** Montrons que pour $x \in [0; \alpha]$, $$0 \leq f(x) \leq \alpha - x.$$ Comme $f$ décroît de $f(0) = 2$ à $f(\alpha) = 0$, on a $f(x) \geq 0$ sur cet intervalle. De plus, $$f(x) - (\alpha - x) = f(x) + x - \alpha = \frac{2e^x}{e^x + 1} - \alpha.$$ Comme $\frac{2e^x}{e^x + 1}$ est croissante et $\alpha$ est la racine de $f$, on a $$f(x) \leq \alpha - x.$$ 7. **Fonction réciproque $g$ :** Comme $f$ est strictement décroissante et continue, elle admet une réciproque $g$ définie sur $[m; M]$ où $m = \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ et $M = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, donc $g$ est définie sur $\mathbb{R}$. 8. **Asymptotes de $g$ :** Les asymptotes de $g$ sont les inverses des asymptotes de $f$. Ainsi, $g$ a pour asymptotes les droites $$x = -y$$ et $$x = -y + 2,$$ c'est-à-dire $$y = -x$$ et $$y = -x + 2,$$ symétriques par rapport à la droite $y = x$. 9. **Tangente en le centre de symétrie :** Le centre de symétrie de $g$ est $W(1;0)$ (inversion de $W(0;1)$). La tangente $(T)$ en $W$ a pour équation $$y = -x + 1,$$ car la dérivée de $g$ en $1$ est l'inverse de $f'(0)$, et $f'(0) = \frac{2}{(1+1)^2} - 1 = \frac{2}{4} - 1 = -\frac{1}{2}$, donc $$g'(1) = -2,$$ la tangente a donc pente $-2$ et passe par $(1;0)$. 10. **Intersection et aire :** Soit $\beta$ l'abscisse du point d'intersection de $(C)$ et $(C')$. L'aire de la région limitée par $(C)$, $(C')$ et les axes est $$A = -4 \ln(2 - 2\beta) - 2 \beta^2.$$ **Réponse finale :** - Asymptotes : $y = -x$ et $y = -x + 2$. - Centre de symétrie : $W(0;1)$. - Dérivée : $-1 < f'(x) < 0$, $f$ décroissante. - Racine unique $\alpha \in (1.6, 1.7)$. - Fonction réciproque $g$ définie sur $\mathbb{R}$. - Tangente en $W$ pour $g$ : $y = -x + 1$. - Aire entre $(C)$, $(C')$ et axes : $-4 \ln(2 - 2\beta) - 2 \beta^2$.