1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{2x^3} + x - \sqrt[3]{x^3 + 2x}}{x}$$. 2. **Simplification et analyse :** Pour $x \to 0^+$, on utilise les développements limités des racines cubiques. - $\sqrt[3]{2x^3} = \sqrt[3]{2} \cdot x$. - $\sqrt[3]{x^3 + 2x} = \sqrt[3]{x^3(1 + \frac{2}{x^2})} = x \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^2}}$. Pour $x \to 0^+$, $\frac{2}{x^2} \to +\infty$, donc $\sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^2}} \sim \sqrt[3]{\frac{2}{x^2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{x^{2/3}}$ ce qui diverge, donc on doit être plus précis en factorisant autrement. 3. **Approche alternative :** Posons $x \to 0^+$, alors $x^3$ est négligeable devant $2x$, donc $$\sqrt[3]{x^3 + 2x} \approx \sqrt[3]{2x} = \sqrt[3]{2} \cdot x^{1/3}.$$ 4. **Substitution dans l'expression :** $$\frac{\sqrt[3]{2} x + x - \sqrt[3]{2} x^{1/3}}{x} = \frac{x(\sqrt[3]{2} + 1) - \sqrt[3]{2} x^{1/3}}{x} = \sqrt[3]{2} + 1 - \sqrt[3]{2} x^{-2/3}.$$ 5. **Limite :** Comme $x \to 0^+$, $x^{-2/3} \to +\infty$, donc la limite diverge vers $-\infty$. --- 6. **Deuxième limite :** $$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + x + 3} - 2 \sqrt[3]{x^3 + 1} \right).$$ 7. **Développement dominant :** Pour $x \to +\infty$, $x^3$ domine, donc $$\sqrt[3]{x^3 + x + 3} = x \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3}} \approx x \left(1 + \frac{1}{3x^2}\right) = x + \frac{1}{3x}.$$ $$\sqrt[3]{x^3 + 1} = x \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^3}} \approx x \left(1 + \frac{1}{3x^3}\right) = x + \frac{1}{3x^2}.$$ 8. **Substitution :** $$x + \frac{1}{3x} - 2\left(x + \frac{1}{3x^2}\right) = x + \frac{1}{3x} - 2x - \frac{2}{3x^2} = -x + \frac{1}{3x} - \frac{2}{3x^2}.$$ 9. **Limite :** Comme $x \to +\infty$, $-x \to -\infty$, donc la limite diverge vers $-\infty$. --- 10. **Troisième limite :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x^4 + x^3 + 2} - \sqrt[3]{x^2 + 2x}}{x^3 - x^2 + 5}.$$ 11. **Analyse des termes :** - $\sqrt[3]{x^4 + x^3 + 2} = \sqrt[3]{x^4(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^4})} = x^{4/3} \left(1 + \frac{1}{3x} + o(\frac{1}{x})\right) = x^{4/3} + \frac{x^{1/3}}{3} + o(x^{1/3}).$ - $\sqrt[3]{x^2 + 2x} = \sqrt[3]{x^2(1 + \frac{2}{x})} = x^{2/3} \left(1 + \frac{2}{3x} + o(\frac{1}{x})\right) = x^{2/3} + \frac{2}{3} x^{-1/3} + o(x^{-1/3}).$ 12. **Numérateur :** $$x^{4/3} + \frac{x^{1/3}}{3} - x^{2/3} - \frac{2}{3} x^{-1/3} + o(x^{1/3}).$$ 13. **Dénominateur :** $$x^3 - x^2 + 5 \sim x^3$$ 14. **Comportement dominant :** Le numérateur est dominé par $x^{4/3}$, le dénominateur par $x^3$. 15. **Limite :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{4/3}}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} x^{4/3 - 3} = \lim_{x \to +\infty} x^{-5/3} = 0.$$ Donc la limite est 0. --- 16. **Quatrième limite :** $$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \right).$$ 17. **Développement :** $$\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt[3]{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} = x^{1/3} \left(1 + \frac{1}{3x} + o(\frac{1}{x})\right) = x^{1/3} + \frac{1}{3} x^{-2/3} + o(x^{-2/3}).$$ 18. **Différence :** $$\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} = \left(x^{1/3} + \frac{1}{3} x^{-2/3} + o(x^{-2/3})\right) - x^{1/3} = \frac{1}{3} x^{-2/3} + o(x^{-2/3}).$$ 19. **Limite :** Comme $x \to +\infty$, $x^{-2/3} \to 0$, donc la limite est 0. --- 20. **Cinquième limite :** $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x} + 6 \times 3 - 4}.$$ 21. **Calcul du dénominateur :** $$\sqrt[3]{x} + 6 \times 3 - 4 = \sqrt[3]{x} + 18 - 4 = \sqrt[3]{x} + 14.$$ 22. **Substitution directe :** Au point $x=1$, $\sqrt[3]{1} = 1$, donc $$\frac{1 - 1}{1 + 14} = \frac{0}{15} = 0.$$ 23. **Conclusion :** La limite est 0. **Réponses finales :** - 1) La limite diverge vers $-\infty$. - 2) La limite diverge vers $-\infty$. - 3) La limite est 0. - 4) La limite est 0. - 5) La limite est 0.