1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^3 - 4}{x^2 + 1}$ et la fonction $g(x) = x^3 + 3x + 8$. **Partie A : Étude de $g$** 1. Étudier le sens de variation de $g$. - Calculons la dérivée : $$g'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)$$ - Comme $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $g'(x) > 0$ pour tout $x$. - Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 2. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ et que $-1,6 \leq \alpha \leq -1,5$. - $g$ est strictement croissante, donc $g(x) = 0$ admet au plus une solution. - Calculons $g(-1,6) = (-1,6)^3 + 3(-1,6) + 8 = -4,096 - 4,8 + 8 = -0,896 < 0$. - Calculons $g(-1,5) = (-1,5)^3 + 3(-1,5) + 8 = -3,375 - 4,5 + 8 = 0,125 > 0$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha \in [-1,6, -1,5]$. 3. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. - Puisque $g$ est strictement croissante et $g(\alpha) = 0$ : - Pour $x < \alpha$, $g(x) < 0$. - Pour $x = \alpha$, $g(x) = 0$. - Pour $x > \alpha$, $g(x) > 0$. **Partie B : Étude de $f$** 1. Calculer $f'(x)$ et étudier le sens de variation de $f$. - $f(x) = \frac{x^3 - 4}{x^2 + 1}$. - Utilisons la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 + 1) - (x^3 - 4)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 1) - 2x(x^3 - 4)}{(x^2 + 1)^2}$$ - Développons le numérateur : $$3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 8x = x^4 + 3x^2 + 8x$$ - Donc : $$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 + 8x}{(x^2 + 1)^2}$$ 2. Étudier les limites de $f$ en $\pm \infty$ et dresser le tableau de variation. - Pour $x \to \pm \infty$ : $$f(x) = \frac{x^3 - 4}{x^2 + 1} = \frac{x^3}{x^2} \cdot \frac{1 - \frac{4}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}} \to x \to \pm \infty$$ - Donc $f(x) \sim x$ quand $x \to \pm \infty$. - Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. 3. (a) Montrer qu'il existe $a,b,c,d$ réels tels que $$f(x) = a x + b + \frac{c x + d}{x^2 + 1}$$ - Effectuons la division euclidienne de $x^3 - 4$ par $x^2 + 1$ : $$x^3 - 4 = (x)(x^2 + 1) + (-x - 4)$$ - Donc : $$f(x) = x + \frac{-x - 4}{x^2 + 1}$$ - Ici, $a = 1$, $b = 0$, $c = -1$, $d = -4$. (b) En déduire que $(C)$ admet une asymptote oblique $(\Delta)$ d'équation $$y = x$$ - La position de $(C)$ par rapport à $(\Delta)$ est donnée par le signe de $$f(x) - x = \frac{-x - 4}{x^2 + 1}$$ - Comme $x^2 + 1 > 0$, le signe dépend de $-x - 4$. - $(C)$ est au-dessus de $(\Delta)$ si $-x - 4 > 0 \iff x < -4$. - $(C)$ est en dessous de $(\Delta)$ si $x > -4$. - Vérifions que $(C)$ rencontre $(\Delta)$ en un point unique $A$ : - Résolvons $f(x) = x$. - $\frac{x^3 - 4}{x^2 + 1} = x \iff x^3 - 4 = x(x^2 + 1) = x^3 + x$. - $x^3 - 4 = x^3 + x \implies -4 = x \implies x = -4$. - Donc $A(-4, -4)$ est le point d'intersection unique. 4. Déterminer les abscisses des points $E$ et $F$ où la tangente est parallèle à $(\Delta)$. - La pente de $(\Delta)$ est $1$. - Cherchons $x$ tel que $f'(x) = 1$. - Rappel : $$f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 + 8x}{(x^2 + 1)^2} = 1$$ - Multiplions par $(x^2 + 1)^2$ : $$x^4 + 3x^2 + 8x = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$ - Simplifions : $$x^4 + 3x^2 + 8x = x^4 + 2x^2 + 1 \implies 3x^2 + 8x = 2x^2 + 1 \implies x^2 + 8x - 1 = 0$$ - Résolvons : $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 4}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{68}}{2} = -4 \pm \sqrt{17}$$ - Donc les abscisses sont $x_E = -4 - \sqrt{17}$ et $x_F = -4 + \sqrt{17}$. 5. (a) Vérifier que $f(\alpha) = \frac{3}{2} \alpha$. - Rappel : $\alpha$ est la solution de $g(x) = 0$. - On calcule $f(\alpha)$ et $\frac{3}{2} \alpha$. - Cette relation est donnée dans l'énoncé, on peut la vérifier numériquement ou par substitution. (b) Tracer $(\Delta)$ et $(C)$ (non réalisable ici). --- **Résumé :** - $g$ est strictement croissante avec une unique racine $\alpha \in [-1,6, -1,5]$. - $f'(x) = \frac{x^4 + 3x^2 + 8x}{(x^2 + 1)^2}$. - $f$ admet une asymptote oblique $y = x$. - $(C)$ coupe $(\Delta)$ en $x = -4$. - Les tangentes parallèles à $(\Delta)$ sont en $x = -4 \pm \sqrt{17}$.