1. **Énoncé du problème** : Calculer l'intégrale double $$\iint_D \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy$$ où $$D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \text{ et } x + y \geq 1\}$$. 2. **Description de la région d'intégration** : - Le disque unité est défini par $$x^2 + y^2 \leq 1$$. - La condition $$x + y \geq 1$$ correspond à la demi-plane au-dessus de la droite $$x + y = 1$$. 3. **Analyse de la région** : - La droite $$x + y = 1$$ coupe le disque unité. - Trouvons les points d'intersection entre la droite et le cercle : $$x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x$$ Substituons dans $$x^2 + y^2 = 1$$ : $$x^2 + (1 - x)^2 = 1$$ $$x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$$ $$2x^2 - 2x + 1 = 1$$ $$2x^2 - 2x = 0$$ $$2x(x - 1) = 0$$ $$x = 0 \text{ ou } x = 1$$ Correspondant à $$y = 1$$ ou $$y = 0$$ respectivement. - Les points d'intersection sont donc $$A(0,1)$$ et $$B(1,0)$$. 4. **Changement en coordonnées polaires** : - Posons $$x = r \cos \theta$$, $$y = r \sin \theta$$ avec $$r \in [0,1]$$. - L'intégrande devient : $$\frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{r \cos \theta \cdot r \sin \theta}{r^4} = \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{r^4} = \frac{\cos \theta \sin \theta}{r^2}$$. - Le jacobien est $$r \, dr \, d\theta$$. - Donc l'intégrale s'écrit : $$\iint_D \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_0^1 \frac{\cos \theta \sin \theta}{r^2} r \, dr \, d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos \theta \sin \theta \int_0^1 \frac{1}{r} \, dr \, d\theta$$. 5. **Détermination des bornes en $$\theta$$** : - La droite $$x + y = 1$$ en polaires est : $$r(\cos \theta + \sin \theta) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}$$. - La région $$D$$ est le secteur du disque unité où $$r \leq 1$$ et $$r \geq \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}$$. - Pour que $$r \leq 1$$ et $$r \geq \frac{1}{\cos \theta + \sin \theta}$$, il faut $$\frac{1}{\cos \theta + \sin \theta} \leq 1 \Rightarrow \cos \theta + \sin \theta \geq 1$$. - Résolvons $$\cos \theta + \sin \theta = 1$$ : $$\sqrt{2} \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$. - Les solutions dans $$[0,2\pi]$$ sont : $$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$ ou $$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$ $$\Rightarrow \theta = 0$$ ou $$\theta = \frac{\pi}{2}$$. - Donc $$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$$. 6. **Problème de divergence** : - L'intégrale intérieure en $$r$$ est $$\int_0^1 \frac{1}{r} \, dr$$ qui diverge vers l'infini. - Cela signifie que l'intégrale double n'est pas absolument convergente sur cette région. 7. **Conclusion** : - L'intégrale $$\iint_D \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy$$ diverge (n'existe pas au sens usuel) car l'intégrale en $$r$$ diverge à cause de la singularité en $$r=0$$. **Réponse finale** : L'intégrale diverge et n'a pas de valeur finie.