1. Calculer les limites suivantes : 1. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1}$$ On divise numérateur et dénominateur par $x$ : $$\frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1} = \frac{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x^2})}}{x(1 + \frac{1}{x})} = \frac{x\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}{x(1 + \frac{1}{x})} = \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{x^2}}}{1 + \frac{1}{x}}$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{3}{x^2} \to 0$ et $\frac{1}{x} \to 0$, donc la limite est : $$\frac{\sqrt{1 - 0}}{1 + 0} = 1$$ 2. $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x^2 - 4}$$ On remarque que $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ et que le numérateur tend vers $\sqrt{1} - 1 = 0$, donc forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On rationalise le numérateur : $$\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{(x - 2)(x + 2)} \times \frac{\sqrt{x - 1} + 1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{(x - 1) - 1}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}$$ On simplifie par $(x - 2)$ : $$\frac{1}{(x + 2)(\sqrt{x - 1} + 1)}$$ En remplaçant $x = 2$ : $$\frac{1}{(2 + 2)(\sqrt{2 - 1} + 1)} = \frac{1}{4 \times (1 + 1)} = \frac{1}{8}$$ 3. $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2x + 3} - x)$$ On multiplie par le conjugué : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x + 3} - x)(\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x + 3 - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 2x + 3} + x}$$ Divisons numérateur et dénominateur par $x$ : $$\frac{2 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} + 1}$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{3}{x} \to 0$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, donc la limite est : $$\frac{2}{1 + 1} = 1$$ 4. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x + x^2}$$ Quand $x \to 0$, $\sin x \sim x$, donc : $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{3x + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(3 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3 + x} = \frac{1}{3}$$ 5. $$\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$$ C'est la définition classique de la constante $e$, donc la limite est : $$e$$ 6. $$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{4 \cos^2 x - 3}$$ On remplace $x = \frac{\pi}{6}$ : $$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad 4 \cos^2 \frac{\pi}{6} - 3 = 4 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3 = 4 \times \frac{3}{4} - 3 = 3 - 3 = 0$$ Forme indéterminée $\frac{0}{0}$, on applique la règle de l'Hôpital : Dérivées : $$\frac{d}{dx} (\sin x - \frac{1}{2}) = \cos x$$ $$\frac{d}{dx} (4 \cos^2 x - 3) = 4 \times 2 \cos x (-\sin x) = -8 \cos x \sin x$$ Donc la limite devient : $$\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{-8 \cos x \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{1}{-8 \sin x} = \frac{1}{-8 \times \frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}$$ 7. $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x + 2}{2x + 1}\right) x^2$$ On écrit : $$\left(\frac{x + 2}{2x + 1}\right) x^2 = x^2 \times \frac{x + 2}{2x + 1} = \frac{x^3 + 2x^2}{2x + 1}$$ Divisons numérateur et dénominateur par $x$ : $$\frac{x^3 + 2x^2}{2x + 1} = \frac{x^2 + 2x}{2 + \frac{1}{x}}$$ Quand $x \to +\infty$, $x^2 + 2x \to +\infty$ et $2 + \frac{1}{x} \to 2$, donc la limite est : $$+\infty$$ 8. $$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - e^x) \sin x}{x^2 + x^3}$$ On utilise les développements limités : $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$$ Donc $$1 - e^x = 1 - \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\right) = -x - \frac{x^2}{2} + \cdots$$ Et $$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$$ Le numérateur est : $$(-x - \frac{x^2}{2})(x - \frac{x^3}{6}) = -x^2 - \frac{x^3}{2} + \cdots$$ Le dénominateur est : $$x^2 + x^3 = x^2(1 + x)$$ Donc la limite est : $$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 - \frac{x^3}{2}}{x^2 + x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2(1 + \frac{x}{2})}{x^2(1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-(1 + \frac{x}{2})}{1 + x} = -1$$ --- 2. Calculer les dérivées : 1. $$f(x) = \sqrt[5]{x \sqrt{x}} = (x x^{1/2})^{1/5} = x^{3/2 \times 1/5} = x^{3/10}$$ Donc $$f'(x) = \frac{3}{10} x^{\frac{3}{10} - 1} = \frac{3}{10} x^{-\frac{7}{10}}$$ 2. $$f(x) = \ln(\ln x)$$ Dérivée par la chaîne : $$f'(x) = \frac{1}{\ln x} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}$$ 3. $$f(x) = \sin(\cos x)$$ Dérivée par la chaîne : $$f'(x) = \cos(\cos x) \times (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$$ 4. $$f(x) = x e^{\sin x}$$ Produit : $$f'(x) = e^{\sin x} + x e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x} (1 + x \cos x)$$ 5. $$f(x) = \left(\frac{1}{1 - x}\right)^x = (1 - x)^{-x}$$ On pose $g(x) = -x \ln(1 - x)$, alors $$f(x) = e^{g(x)}$$ Dérivée : $$f'(x) = e^{g(x)} g'(x) = f(x) g'(x)$$ Calcul de $g'(x)$ : $$g'(x) = -\ln(1 - x) - x \times \frac{-1}{1 - x} = -\ln(1 - x) + \frac{x}{1 - x}$$ Donc $$f'(x) = (1 - x)^{-x} \left(-\ln(1 - x) + \frac{x}{1 - x}\right)$$ 6. $$f(x) = e^{\sin(2/x)}$$ Dérivée par la chaîne : $$f'(x) = e^{\sin(2/x)} \times \cos(2/x) \times \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^2} e^{\sin(2/x)} \cos(2/x)$$ --- 3. Calculer les limites avec règle de l'Hôpital : 1. $$\lim_{x \to 2} \frac{e^x - e^2}{x^2 + x - 6}$$ Au point $x=2$, numérateur et dénominateur valent 0, forme $\frac{0}{0}$. Dérivées : $$\frac{d}{dx} (e^x - e^2) = e^x$$ $$\frac{d}{dx} (x^2 + x - 6) = 2x + 1$$ Donc la limite est : $$\frac{e^2}{2 \times 2 + 1} = \frac{e^2}{5}$$ 2. $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$$ Forme $\frac{0}{0}$. Dérivées : $$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$$ $$\frac{d}{dx} (x \sin x) = \sin x + x \cos x$$ Limite : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin x + x \cos x} = \frac{0}{0 + 0}$$ Encore forme indéterminée, on applique la règle une deuxième fois : Dérivées secondes : $$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$$ $$\frac{d}{dx} (\sin x + x \cos x) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$$ Limite : $$\frac{\cos 0}{2 \cos 0 - 0} = \frac{1}{2}$$ 3. $$\lim_{x \to 5} (6 - x)^{\frac{1}{x - 5}}$$ On pose $$y = (6 - x)^{\frac{1}{x - 5}}$$ Prenons le logarithme : $$\ln y = \frac{1}{x - 5} \ln(6 - x)$$ Quand $x \to 5$, forme $\frac{0}{0}$ pour $\ln y$. On pose $t = x - 5$, alors $$\ln y = \frac{\ln(1 - t)}{t}$$ On applique la règle de l'Hôpital : $$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1 - t}}{1} = -1$$ Donc $$\lim_{x \to 5} \ln y = -1 \implies \lim_{x \to 5} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$$ 4. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 10^x}{1 + 10^{x+1}}$$ Quand $x \to +\infty$, $10^x \to +\infty$, donc numérateur tend vers $-\infty$ et dénominateur vers $+\infty$. On divise numérateur et dénominateur par $10^x$ : $$\frac{\frac{1}{10^x} - 1}{\frac{1}{10^x} + 10}$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{10^x} \to 0$, donc la limite est : $$\frac{0 - 1}{0 + 10} = -\frac{1}{10}$$ 5. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 15x - \sin 10x}{\sin 10x}$$ On utilise la formule de différence de sinus : $$\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$$ Donc $$\frac{\sin 15x - \sin 10x}{\sin 10x} = \frac{2 \cos \frac{25x}{2} \sin \frac{5x}{2}}{\sin 10x}$$ Quand $x \to 0$, $\cos \frac{25x}{2} \to 1$, $\sin \frac{5x}{2} \sim \frac{5x}{2}$, $\sin 10x \sim 10x$. Donc $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \times 1 \times \frac{5x}{2}}{10x} = \frac{5x}{10x} = \frac{1}{2}$$