1. **Énoncé du problème** : Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]-\infty; -3]$ par $$f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}.$$ Nous allons étudier ses limites, sa dérivabilité, son comportement, et sa fonction réciproque. 2. **Calcul de la limite en $-\infty$** : On étudie $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}\right).$$ Pour $x \to -\infty$, on factorise sous la racine : $$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}\right)} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}.$$ Comme $x \to -\infty$, $|x| = -x$, donc $$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = -x \sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}.$$ En développant la racine pour $x \to -\infty$ : $$\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} \approx 1 + \frac{1}{x} \quad \text{(car les termes en } \frac{1}{x^2} \text{ sont négligeables)}.$$ Donc $$\sqrt{x^2 + 2x - 3} \approx -x \left(1 + \frac{1}{x}\right) = -x - 1.$$ Ainsi, $$f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3} \approx x - x - 1 = -1.$$ Donc $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1}.$$ 3. **Dérivabilité à gauche en $-3$ et interprétation géométrique** : La fonction est définie sur $]-\infty; -3]$, on étudie la dérivabilité à gauche en $-3$. Calculons la dérivée $f'(x)$ (démontré en 3a) : $$f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}.$$ On calcule la limite de $f'(x)$ quand $x \to -3^-$ : D'abord, calculons $x^2 + 2x - 3$ en $x = -3$ : $$(-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0.$$ Donc, $$f'(-3) = \lim_{x \to -3^-} \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} = \lim_{x \to -3^-} \left(1 + \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}\right).$$ Le dénominateur tend vers 0, et le numérateur $x+1$ tend vers $-2$, donc la fraction diverge vers $-\infty$. Donc $f'(x)$ n'a pas de limite finie à gauche en $-3$, la fonction n'est pas dérivable à gauche en $-3$. **Interprétation géométrique** : La tangente à la courbe en $x = -3$ n'existe pas à gauche, ce qui signifie un point anguleux ou une cuspide. 4. **Démonstration de la dérivée (3a)** : On pose $$f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}.$$ La dérivée est $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2x - 3}} \cdot (2x + 2) = 1 + \frac{x+1}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}.$$ En regroupant, $$f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}.$$ 5. **Monotonie de $f$ (3b)** : Étudions le signe de $f'(x)$ sur $]-\infty; -3[$. Le dénominateur $\sqrt{x^2 + 2x - 3} > 0$ sur cet intervalle. Le numérateur est $$\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1).$$ Posons $$g(x) = \sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1).$$ Pour $x \leq -3$, calculons $g(x)$ : On a $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$, et sur $]-\infty; -3[$, $x+3 < 0$ donc $x^2 + 2x - 3 > 0$. Testons en $x = -4$ : $$g(-4) = \sqrt{16 - 8 - 3} + (-4 + 1) = \sqrt{5} - 3 \approx 2.236 - 3 = -0.764 < 0.$$ En $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 + 2x - 3} \approx -x - 1$, donc $$g(x) \approx (-x - 1) + (x + 1) = 0.$$ Mais pour $x < -3$, $g(x) < 0$. Donc $f'(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}} < 0$ sur $]-\infty; -3[$. Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; -3]$. 6. **Tableau de variation (3c)** : - $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; -3]$. - Limite en $-\infty$ : $f(x) \to -1$. - Valeur en $-3$ : $$f(-3) = -3 + \sqrt{9 - 6 - 3} = -3 + 0 = -3.$$ Donc le tableau de variation est : $$\begin{array}{c|cc} x & -\infty & -3 \\ f(x) & -1 & -3 \\ \text{Sens} & \searrow & \\ \end{array}$$ 7. **Existence de la fonction réciproque (4a)** : Comme $f$ est strictement décroissante sur $I$, elle est bijective sur $I$ vers son image $J = f(I) = [-3, -1[$. Donc $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J$. 8. **Détermination de $f^{-1}$ (4b)** : Soit $y = f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}$ avec $x \leq -3$. Isolons $x$ en fonction de $y$ : Posons $$y = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}.$$ Isolons la racine : $$\sqrt{x^2 + 2x - 3} = y - x.$$ Élevons au carré : $$x^2 + 2x - 3 = (y - x)^2 = y^2 - 2xy + x^2.$$ Simplifions : $$2x - 3 = y^2 - 2xy.$$ Regroupons : $$2x + 2xy = y^2 + 3,$$ $$2x(1 + y) = y^2 + 3,$$ $$x = \frac{y^2 + 3}{2(1 + y)}.$$ La fonction réciproque est donc $$\boxed{f^{-1}(y) = \frac{y^2 + 3}{2(1 + y)}},$$ avec $y \in J = [-3, -1[$ et $y \neq -1$ (ce qui est vrai car $-1$ est borne supérieure exclue). --- **Résumé final** : - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$. - $f$ n'est pas dérivable à gauche en $-3$. - $f'(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x+1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}$. - $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; -3]$. - $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur $J = [-3, -1[$ donnée par $$f^{-1}(y) = \frac{y^2 + 3}{2(1 + y)}.$$